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1、选修21第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的坐标表示总第教案（理科使用）教学目的：1、掌握空间直角坐标系的概念，会确定简单几何体的顶点坐标；2、掌握空间向量坐标运算规律；3、会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；4、会用中点坐标公式解决有关问题*教学重点：空间直角坐标系，向量坐标运算+教学难点：空间向量的坐标的确定及运算， 教学过程：一、复习引入：-（1）若空间一个基底的三个基向量互相垂直，长为，这个基底叫单位正交基底，用ij,k表示；八 八二7（2）在空间选定一点0和一个单位正交基底，j，k ，以点0为原点，分别以i,J,k的万向为 正方向建立三条数轴：X轴、J轴、z轴，它们都叫
2、坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系1，空间直角坐标系：0yz，点0叫原点，向量i，j，k都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；（这里建立的坐标系都是右手直角坐标系）记作2. 空间直角坐标系中的坐标:在空间直角坐标系0*yz中，对空间任一点A，存在唯一 的有序实数组（X，y，z），使0A = xi + yj + zk，有序实数组（尤,y，z）叫作向量A在空间直角坐标系0 -yz中的坐标A（x，y，z），x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.3. 空间向量的直角坐标运算：（类比平面向量的坐标运算） （1）若 a = （a，a，a ），b =
3、（b，b，b ），则a b = （a b，a123123a + b = （a + b，a + b，a + b ）112233Xa = （Xa，Xa， Xa ）（X e R），a | b o a = Xb，a =Mb，a =Mb （人a b o a b + a b + a b = 0112233模长|a | = ：a21 + a22 + a23（2）若 A（x，y，z ），B（x，y，z ），111222则 AB = （ x - x，y - y，z - z ）.212221一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标IABI=：（x X ）2 + （y y ）
4、2 + （z z ）2V 212121二、典型例题例 1、长方体 OAEB - O AE B 中，OA=3, OB=4, OO =2，点 P 在棱 AA 上，且 111111AP=2 PA 1,点S在棱BB上，且SB= 2BS，点Q,R分别是OB，AE的中点，求证：PQ/RS.（提示：建立适当的空间直角坐标系，注意建系的方法）例 2 已知 a = (2,-3,5)， b = (-3,1,-4)，求 a + b， a 一 b， | a | ，8 a， a b例3.求点A（2, -3,-1）关于xOy平面，zOx平面及原点O的对称点，那么，点A （2, -3, -1）关于xOy平面，zOx平面及原
5、点O的射影点是什么呢?那么，点A （2，-3，-1）关于点B （0，1,2）的对称点又是什么呢？总结：点（a，b,c）关于面对称（变一个坐标）；关于轴对称（变两个坐标）；关于原点对称（变3 个坐标）；面内射影（一个为0,其余不变）；轴上射影（两个为0, 一个不变）若建立如图的坐标系，例4、设正四棱锥S -P1P2P3P4的所有棱长均为a,求点S、P、P、P和P的直角坐标。1234若以P为原点建系呢？3例5、判断下列两个向量是否平行(1) a = (1,3,-2), b = (-2,-6,4).(2). a = (-2,0,5), b = (8,0,20)变式练习：a = (2,2m - 3,n
6、 + 2) , b = (4,2m + 1,3n - 2)，且 a / b，求实数 m,n的值例6、平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为X2 + y2 = 1 , 在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么，试写出它的方程。1.若ij,*为一个单位正交基底，若 a = -2i + 8 j + 3k，则向量a的坐标 。若b = -5k，则向量b的坐标是，若c = -5i + 2k，则c的坐标是O2.已知ABCDABC D是棱长为2的正方体，E、F分别是BB 和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，1试写出图中各点的坐标。3. 若a = (2x,1,3)，b = (1,-
7、2y,9)，如果a，b 为共线向量，则 x=，y=4. 已知点A (1,2,1)，B (-1,3,4)，且AP = 2PB，则点P的坐标是5. 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，则线段AB的中点坐标和长度，到A,B两点的距离相等的点P(x, y, z)的坐标x, y, z满足的条件。四、课后作业1、已知A(2,5，-6)，在y轴上存在点P，使PA=7，则P的坐标是。2、已知 a = (1 t,1 t, t), b = (2, t, t)，则 | b a | 的最小值是o3、已知 a =(人 +1,0,2人)，b = (6,2r -1,2)，若 a /b，则 X =，r =。4、已知a=(
8、2,-1,3), b=(-1,4,-2)，c=(7,5,x)，若a,b,C三向量共面，贝g人=o5、设A (3,0,-1) ,B(0,-2,0),C(2,4,-2),则三角形的形状是(直角，锐角，钝角，以上均不对)三角形6、(1)点P(2,1,4)关于坐标原点的对称点的坐标o(2) 若点 P(3,1,a)，Q(3,b,2)关于 XOY 平面对称，则 a+b= (3) 由点P(m,n,t)向坐标平面xoz作垂线，垂足的坐标为，向X轴作垂线，垂足的坐标是O7、已知空间三点 A（-1,0,1）,B（2,4,3）,C（5,8,5）,求证：A,B,C 三点共线。8、已知 A(1，2，1)、B(-1,3,
9、4)、D(1,1,1),若 AP = 2PB，求I PD I 的值9、已知正四棱锥P - ABCD的底面边长为5.克，侧棱长为13,若建立如图（1）、如图（2）的坐标系，在图中写出各顶点的坐标。图（1）图（2）10、（1）、设点 C（2a +1，a +1，2），在点 P（2，0，0），A（1，-3，2）， B（8, -1，4）确定的平面上，求a的值。（2） oA = a + b + 2? OB = 2a - b + c oC = 2打 + 3b + 2己 OD = 5a - 3b - c，其中M,c对单位正交基底，A,B,C,D四点是否共面?四边形ABCD又是什么样的图形11、已知 P（ 3cosa，3sina，1）和。（2cos0，2sin0，1）,求 pq 的取值范围。
