题型 2 比较大小之作差比较法作差比较法的理论依据：a - b > 0 o a > ba - b = 0 o a = ba - b < 0 o a < b作差比较法的步骤：作差、变形、定号、下结论变形的方法：通分、因式分解、提取公因式、十字相乘、配方、分子分母有理化、平方后作 差等方法，同时注意每一步变形必须是等价变形变形的结果是因式积，完全平方式等形式 变形的目的是为了判断差值的符号 作差比较法适用于实数（代数式）的大小不明显，作差后可化为积或商的形式的比较大小问 题回想高一学习定义法证明函数单调性的过程，分别是取值、作差、变形、定号、下结论 两者之间大致相同例1：已知a, b e R +,且a主b,试比较a5+b5和a3b2 + a2b3的大小.(a + 丄 b)2 + b 224解： a5+b5- a3b2 - a2b3 =a3(a2 -b2)+b3(b2 - a2) =(a2 -b2)(a3-b3)=(a + b)(a - b)(a - b)(a 2 + ab + b 2) = (a - b)2 (a + b)因为a,b e R +,且a丰b,13所以(a - b)2 > 0 , a + b > 0, (a + — b)2 + b2 > 0 ,24所以 a5 +b5 — a3b2 一 a2b3 > 0所以 a5+b5 > a3b2 + a2b3小结：此题采用提取公因式、因式分解、配方等变形方法. 1例2：设x e R，比较 与1 - x的大小.x+1( 1 - x )=x2当x = 0时， =01+x=(1 - x )当x <-1时,x21+x1 ]<(1-x)x + 1当 一1 < x < 0 或 x > 0 时，-^ > 01 + x1 1 >((Va +1+、■' a )(y' a +、： a — 1)因为a > 1，所以 \：a — 1 — \：a +1 >0,、：a + 1+p'a >0, *'a + a — 1 >0, 所以M — N > 0，所以M > N .小结：此题采用分子有理化、通分等变形技巧.来看看几道练习题： 若 x < y < 0，试比较(x2 3 + y2)(x — y)与(x2 — y2)(x + y)的大小关系.1 - x)x + 1小结：此题采用通分，同时注意结合使式子有意义的隐含条件进行分类讨论.例3.已知a > 1，试比较M = .-'a +1 -^a和N = 3 - * a — 1的大小.解：M-N=x a — 1 — -\： a +1题型 2 比较大小之作差比较法作差比较法的理论依据：a 一 b〉0 o a〉ba 一 b = 0 o a = ba 一 b < 0 o a < b作差比较法的步骤：作差、 变形、定号、下结论。
变形的方法：通分、因式分 解、提取公因式、十字相乘、配 方、分子分母有理化、平方后作 差等方法，同时注意每一步变形 必须是等价变形变形的结果是因式积，完全 平方式等形式变形的目的是为了判断差值 的符号作差比较法适用于实数（代 数式）的大小不明显，作差后可 化为积或商的形式的比较大小问 题回想高一学习定义法证明函数单调性的过程，分别是取值、 作差、变形、定号、下结论 两者之间大致相同例1： 已知仏b^R+, 且a砂试比较a5 +b5和ab + ab的大小.解：a5 +b5 - ab2 - ab =03@ -2)+b(b2 -a2)=(a -bb)(a -b)=(a - b)2(a + b)1 3(a + b)2 + b 2 L 2 4 J因为 a , b e R+,且a丰b,=(a+b)(a -b)(a -6)(02 + ab^b)所以(a - 6)2 > 0 , a+b〉0,(a +12b )2 +34b 2 > 0所以 a5 +b 5 - a3b2 -a2b3 >0所以 a5+b5 > ab + ab小结：此题采用提取公因式 因式分解、配方等变形方法.1例2：设xeR，比较丘〒T与1 - X的大小.1 - X 2TTT (1 - X )=1 + x当x = 0时，X21 ~+X1x + 1 =(1 - x)当X<-1时，X2 <1 ~+~X1TTT <(1-X)当-1 < X < 0或X〉0 时，M = jan-尹和N=評-a-1的大小.11解： 弘气乔丐a jaa-1羔〉01E >(1- X)小结：此题采用通分，同时注意 结合使式子有意义的隐含条件 进行分类讨论.例3•已知a、1，试比较因为a >1,所以-評耳>0,^a+i+a >0, fa +ja—1>0, 所以M—N>0，所以M > N・ 小结：此题采用分子有理化、 通分等变形技巧・来看看几道练习题：1、若 x 5,试比较Ma—3 —/a—4 与N=、/O—4—Ja=5的大小关系. 答案：1、 (x2+y2)(x—y)> (x2 —y2)(x+y)2、 p > q 3、 M 5,试比较M = \'a — 3 —弋a — 4与N = *：a — 4 — pa — 5的大小关系.答案：1、 (x2+y2)(x—y)>(x2—y2)(x+y)2、 p > q,当且仅当a = 0时，等号成立3、 M