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1、.世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设ABR(实数集)，如果A到B的映射j：xx2，xR，则j是从A到B的（c）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AB中含有（d）个元素。A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b，ya=b，a,bG都有解，这个解是（b）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群，子
2、群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、设集合A=-1,0,1；B=1,2，则有BA=。2、若有元素eR使每aA，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。4、偶数环是整数环的子环。5、一个集合A的若干个-变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。6、每一个有限群都有与一个置换群同构。7、全体不等于0的有理数
3、对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a-1。8、设I和S是环R的理想且ISR，如果I是R的最大理想，那么-。9、一个除环的中心是一个-域-。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换s和t分别为：s=，t=，判断和的奇偶性，并把和12345678123456786417352823187654stst矩阵，且A=B+C。若令有A=B+C，这里B和C分别为对称矩阵和反对称矩阵，则写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解：把s和t写成不相杂轮换的乘积：s=(1653)(247)(8)t=(123)(4
4、8)(57)(6)可知s为奇置换，t为偶置换。s和t可以写成如下对换的乘积：s=(13)(15)(16)(24)(27)t=(13)(12)(48)(57)11B=(A+A)C=(A-A)222解：设A是任意方阵，令，则B是对称矩阵，而C是反对称1111.下载可编辑.B-B=C-C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：B=B，C=C，所以，表示法唯一。.11113、设集合Mm=0,1,2,m-1,m(mf1)，定义Mm中运算“+m”为a+mb=(a+b)(modm),则（Mm，+m）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25
5、分）1、设G是群。证明：如果对任意的xG，有x2=e，则G是交换群。2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。1、对于G中任意元x，y，由于(xy)2=e，所以xy=(xy)-1=y-1x-1=yx（对每个x，从x2=e可得x=x-1）。2、证明在F里ab-1=b-1a=ab(a,bR,b0)Q=所有(a,bR,b0)有意义，作F的子集-ab-Q显然是R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二一、单项选择题二、1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c）是子群。aeea,a3A、B、,eC、D、,a,a32、下面的代数系统（G，*）中，（d）不是群A
6、、G为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（b）A、a*b=a-bB、a*b=maxa,bC、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、设s1、s2、s3是三个置换，其中s1=（12）（23）（13），s2=（24）（14），s3=（1324），则s3=（b）A、s21B、s1s2C、s22D、s2s15、任意一个具有2个或以上元的半群，它（a）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不
7、填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-变换全-同构。2、一个有单位元的无零因子-交换环-称为整环。3、已知群G中的元素a的阶等于50，则a4的阶等于-25-。.下载可编辑.4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-模n乘余类加群-同构。5、A=1.2.3B=2.5.6那么AB=-2-。6、若映射j既是单射又是满射，则称j为-双射-。7、a叫做域F的一个代数元，如果存在F的-不都等于林-a0,a1,L,an使得a0+a1+aL+anan=0。8、a是代数系统(A,0)的元素，对任何xA均成立xoa=x，则称a为-单位元-。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足
8、G对于乘法封闭；结合律成立、-消去律成立-。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是-。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A=1,2,3G是A上的置换群，H是G的子群，H=I,(12)，写出H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？1、解：H的3个右陪集为：I,(12)，(123)，(13)，(132)，(23)H的3个左陪集为：I,(12)，(123)，(23)，(132)，(13)2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。3、解方法一、辗转相除法。列以下算式：a
9、=b+102b=3102+85102=185+17由此得到(a,b)=17,a,b=ab/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明设e是群的幺元。令xa1*b，则a*xa*(a1*b)(a*a1)*be*bb。所以，xa1*b是a*xb的解。若xG也是a*xb的解，则xe*x(a1*a)*xa1*(a*x)a1*bx。所以，xa1*b是a*xb的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z
10、记为Zm，每个整数a所在的等价类记为a=xZ；mxa或者也可记为a，称之为模m剩余类。若mab也记为ab(m)。当m=2时，Z2仅含2个元：0与1。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若是群，则对于任意的a、bG，必有惟一的xG使得a*xb。2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：ab当且仅当mab。.下载可编辑.近世代数模拟试题三一、单项选择题1、6阶有限群的任何子群一定不是（c）。A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶2、设G是群，G有（c）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（d）。
11、4、下列哪个偏序集构成有界格（d）A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂A、（N,）B、（Z,）C、（2,3,4,6,12,|（整除关系）D、(P(A),)5、设S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（a）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f-1f(a)=-a-。3、区间1，2上的运算aob=mina,b的单位元是-2-。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=24。5、环Z的零因子有-。86、一个子群H的右、左陪集的个数-相等-。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-商权-。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-特征-。9、设群G中元
