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1、 高考试题理科数学试题10 )limnlimnlimn15645561 ( ) 1 ( ) ( )( )( )111nnnnnnnnnn= 【点评】 本题考查了等比数列的求和公式以及数列极限的基本类型. (15) 5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员.现从中选出 3 名队员排成 1、 2、 3 号参与团体竞赛,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员,且 1、 2 号中至少有 1 名新队员的排法有_种.(以数作答) 【解析】 两老一新时, 有131222C12C A=种排法; 两新一老时, 有122333C C36A=种排法,即共有 48 种排法. 【点评】 本题考查了有限制条件
2、的排列组合问题以及分类探讨思想. (16) 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 ,则cos =_ 【解析】 不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的全部面成角相等时,为与相交于同一顶点 的 三 个 相 互 垂 直 的 平 面 所 成 角 相 等 , 即 为 体 对 角 线 与 该 正 方 体 所 成 角 . 故26cos33 =. 【点评】 本题考查了直线与平面所成角的定义以及正四棱柱的概念,充分考查了转化思想的应用. 三 解答题 (17) (本小题满分 12 分) 已知函数22( )f xsin2sin cos3cosxxxx=+， xR.求: (I) 函数 ( )f x 的最大值及
3、取得最大值的自变量 x 的集合； (II) 函数 ( )f x 的单调增区间. 【解析】 (I) 解法一: 1 cos2( )f x=3(1cos2 )sin21 sin2= +cos222 sin(2)224xxxxxx+=+ 当 2242xk+=+,即()8xkkZ=+时, ( )f x 取得最大值22+. 函数 ( )f x 的取得最大值的自变量 x 的集合为 /,()8x xR xkkZ=+. 解法二: 2222( )f x(sincos)2sin cos2cos2sin cos12cossin2cos22xxxxxxxxxx=+=+ +=+22sin(2)4x=+ 当 2242xk+
4、=+,即()8xkkZ=+时, ( )f x 取得最大值22+. 函数 ( )f x 的取得最大值的自变量 x 的集合为 /,()8x xR xkkZ=+. (II)解: ( )22sin(2)4f xx=+ 由题意得: 222()242kxkkZ+ 即: 3()88kxkkZ+ 因此函数 ( )f x 的单调增区间为3,()88kkkZ+. 【点评】 本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础学问,考查综合运用三角有关学问的实力. (18) (本小题满分 12 分) 已知正方形 ABCD . E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点,将 ADE沿 DE 折起,如图所示,记
5、二面角 ADE C的大小为 (0). (I) 证明(II)若 ACD的结论,并求角 的余弦值. /BF平面ADE ; 为正三角形,试推断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上,证明你 【解析】 (I)证明:EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、 CD 的中点, EB/FD,且 EB=FD, 四边形 EBFD 为平行四边形. BF/ED ,EFAEDBFAEDQ平面而平面 (II)解法 1: 如右图,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上, 过点 A 作 AG 垂直于平面 BCDE,垂足为 G,连结 GC,GD. Q ACD 为正三角形, AC=AD
6、CG=GD /BF平面ADE . A A C B D E F B C D E F Q G 在 CD 的垂直平分线上, 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上, 过 G作 GH垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AHGAH= 设原正方体的边长为 2a,连结 AF DE,所以AHD为二面角 A-DE-C 的平面角.即在折后图的 AEF 中,AF= 3a ,EF=2AE=2a, 即 AEF 为直角三角形, AG EFAE AF= 32AGa= 在 RtADE 中, AH DEAE AD= 25AHa= 2 5aGH= 1cos4GHAH =. 解法 2:点 A 在平面 BCDE
7、内的射影 G 在直线 EF 上 连结 AF,在平面 AEF 内过点作 AGQ ACD 为正三角形,F 为 CD 的中点, AFCD 又因 EFCD, EF ,垂足为 G. 所以CDAEF 平面 AGAEF Q平面 AGCD 又 AGEF 且,BCDECDEFF CDBCDE EF=平面平面 AGBCDE 平面 G即点 A 在平面 BCDE 内的射影在直线 EF 上 过 G作 GH垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AHGAH= 设原正方体的边长为 2a,连结 AF 为 A 在平面 BCDE 内的射影 G. DE,所以AHD为二面角 A-DE-C 的平面角.即在折后图的 AEF 中,AF= 3
8、a ,EF=2AE=2a, 即 AEF 为直角三角形, AG EFAE AF= 32AGa= 在 RtADE 中, AH DEAE AD= 25AHa= 2 5aGH= 1cos4GHAH =. 解法 3: 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 连结 AF,在平面 AEF 内过点作 AGQ ACD 为正三角形,F 为 CD 的中点, AFCD 又因 EFCD, EF ,垂足为 G. 所以CDAEF 平面 CDBCDE 平面 AEFBCDE平面平面 又AEF=EF,BCDEAGEFQ 平面平面 AGEF AGBCDE 平面 G即点 A 在平面 BCDE 内的射影在直线 EF 上 过 G作 GH垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AHGAH= 设原正方体的边长为 2a,连结 AF 为 A 在平面 BCDE 内的射影 G. DE,所以AHD为二面角 A-DE-C 的平面角.即在折后图的 AEF 中,AF= 3a ,EF=2AE=2a, 即 AEF 为直角三角形, AG EFAE AF= 32AGa= 在 RtADE 中, AH DEAE AD= 25AHa= 2 5aGH=, 1cos4GHAH =. 【点评】 本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础学问考查空间想象实力和思维实力. (19
