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1、 1.设有矩形截面的竖柱，其密度为，在一边侧面上受均布剪力q，如图1，试求应力分量。图1解：采用半逆解法，设 。导出使其满足双调和方程： 取任意值时，上式都应成立，因而有：式中， 中略去了常数项， 中略去了 的一次项与常数项，因为它们对应力无影响。（1） （1）含待定常数的应力分量为：利用边界条件确定常数，并求出应力解答：能自然满足：能自然满足：（3） （2） （3）不能精确满足，只能近似满足：由式（3）、（4）解出常数 和 ，进而可求得应力分量：（4）（4） （4） （5）图2（a）（b）2如图2（a），三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。解：1.设
2、应力函数为：不难验证其满足 。所以应力分量为： 2.用边界条件确定常数，进而求出应力解答： 上边界： 斜边： 解得： 3如果 为平面调和函数，它满足 ，问 是否可作为应力函数。 解：将 代入相容条件，得：满足双调和方程，因此，可作为应力函数。将代入相容条件得1 也能作为应力函数。把 代入相容条件，得：所以， 也可作为应力函数。4图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取应力函数为：，求简支梁的应力分量（体力不计）。Oylxlh解：由满足相容方程确定系数A与B的关系：含待定系数的应力分量为由边界条件确定待定系数：、由以上式子可求得：由此可解得：应力分量为5.如下图，右端固定悬臂梁，长为l，高
3、为h，在左端面上受分布力作用（其合力为P）。不计体力，试求梁的应力分量。PyOhlx解：用凑和幂次不同的双调和多项式函数的半逆解法来求解。显然，应力函数 所对应的面力，在梁两端与此题相一致，只是该函数在上、下边界面上多出了一个大小为 的剪应力，为了抵消它，在应力函数 上再添加一个与纯剪应力对应的应力函数 ：由平衡条件得含有待定系数的应力表达式为：利用边界条件确定，并求出应力分量：上、下边界：左端部：解得：6.试考察应力函数在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?解答相容条件:不论系数a取何值，应力函数总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).求应力分量当体力不计时，将
4、应力函数代入公式(2-24)，得考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.左右边界上；当a0时，考察分布情况，注意到，故y向无面力左端:右端:应力分布如下图，当时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩A主矢的中心在矩下边界位置。即此题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。偏心距e：因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：同理可知，当h，图3-5，试用应力函数=Axy+By2+Cy3+Dxy3求解应力分量。解：此题是较典型的例题，已经给出了应力函数，可按以下步骤求解。1将代入相容方程，显然是满足的。2将代入式（2-24），求出应力分量3考虑边界条件：主要边界y
5、=h/2上，应精确满足式（2-15），在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上x,和xy的正方向，由此得由式(a)，（b）解出最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必须满足的，故不必再校核。代入应力公式，得11. 挡水墙的密度为1，厚度为b，图3-6，水的密度为2，试求应力分量。解：用半逆解法求解1假设应力分量的函数形式，因为在y=-b/2边界上，y=0；y=b/2边界上，y=-2gx，所以可假设在区域y为2推求应力函数的形式。由y推测的形式，3由相容方程求
6、应力函数。将代入4=0，得要使上式在任意的x处都成立，必须代入，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。4由应力函数求应力分量，将代入式（2-24），注意体力fx=1g，fy=0，求得应力分量为5考虑边界条件：在主要边界y=b/2上，有由上式得到求解各系数，由(a)+(b)得(a)-(b)得(c)-(d)得(c)+(d)得由此得又有(e)-(f)得(e)+(f)得代入A，得在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件：由式(g),(h)解出代入应力分量的表达式，得应力解答：12. 已知试问它们能否作为平面问题的应力函数？解：作为应力函数，必须首先满足相容方程，将代入，（a）
7、其中A=0，才可成为应力函数；（b）必须满足 3（A+E）+C=0，才可成为应力函数。13. 图3-7所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩M= 的作用，试用应力函数求解图示问题的应力与位移，设在A点的位移和转角均为零。解：应用应力函数求解：（1）校核相容方程 4=0，满足。（2）求应力分量，在无体力时，得（3）考虑主要边界条件 ，均已满足。考虑次人边界条件，在y=0上，代入，得应力的解答，上述和应力已满足了4=0和全部边界条件，因而是上述问题的解。（4）求应变分量，（5）求位移分量，将u,v代入几何方程第三式两边分开变量，并令都等于常数,即从上式分别积分，求出代入u,v，得再由刚体约束条件，代入u,v，得到位移分量的
