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1、11. 4直线与圆圆与圆的位置关系【知识网络】1. 能根据给定直线、圆的方程，判定直线与圆、圆与圆的位置关系.2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3进一步体会用代数方法处理几何问题的思想.【典型例题】2 2 2例1 (1)已知点P(1, 2)和圆C: x y kx 2y k =0，过P作C的切线有两条,则k的取值范围是()243A. k RB .kv -32.33.2.3C .k : 0 D.k :333(2) 设集合 A= (x,y)|x2+ y2w 4,B=(x,y)|(x 1)2+ (y 1)2朋(0),当 AA B=B 时，r 的取 值范围是()A. (0,2 1)B . (0,
2、1C. (0, 2 2 D . (0,2 (3) 若实数x、y满足等式(x-2)2 + y 2 = 3，那么必的最大值为()xA. 13过点M(-3r)且被圆x2八25截得弦长为8的直线的方程为.、 2 2 2 2(5)圆心在直线 x-y-4=0上，且经过两圆 x y -4x-3 = 0和x y -4y-3 = 0的交点的圆的方程是.例2若直线1: 2x y仁0和圆C: x2+ y2 2y 仁0相交与A、B两点，求弦长I AB I例3圆01的方程为：x2 + (y + 1)2=4,圆02的圆心坐标为(2, 1).(1) 若圆O1与圆。2相外切，求圆 。2的方程；(2) 若圆O1与圆O2相交于A
3、、B两点，且I AB I =2,2，求圆。2的方程.2236例4已知点A(0, 2)和圆C: (X-6) ，(y-4)，条光线从 A点出发射到x轴上5后沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程【课内练习】. . 2 2 2 2 :.1 .两圆 x2y26x 4y -3=0 和 xy -6x-，12y-19 = 0 的位置关系是()A.外切B 内切C 相交D外离2 22. 直线x 2y 2k=0与2x 3y k=0的交点在圆x + y =9的外部，则k的取值范围是()3333A.(汽5 )U( 5 , + m)b. ( 5，5)3333c. (m， 5 u 5 , +m)d. 5
4、, 3. 已知半径为1的动圆与圆(x-5)2 (y 7)2 =16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A. (x -5)2 (y 7)2 = 25B .(x-5)2(y7)2= 25或(x -5)2(y7)2= 9C .(x5)2(y7)2=92 2 2 2D.(x-5)(y7)=17 或(x-5)(y7)=152 2 24. 已知点M (a, b) (ab0是圆x+y=r内一点，直线g是以M为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax by r 0,则()a . l/g，且与圆相离B.丨g，且与圆相切c. l/g，且与圆相交d. l g，且与圆相离5. 圆心在直线 2x+y=0上，且与直线 x+y-1
5、=0切于点(2, -1 )圆的标准方程是.2 26. 过点M (2, 4)向圆C: (x 1) + (y+ 3) =1引两条切线，切点为P、Q,则P、Q所在 的直线方程是.7. 已知圆系x2 - y2 -2ax 2 a -2 y 2 =0，其中a丰1且a R，则该圆系恒过定点.2 2&点P在直线2x y 10上，PA、PB与圆x y =4相切于A、B两点，求四边形PAOB面积的最小值.9.求与圆x2，y2-2x = 0外切且与直线.3y=0相切于点M (3, -3)的圆方程.10.已知圆 C 方程为：x2 y2 -2x-4y-20 = 0，直线 I 的方程为：(2m+ 1)x+ (m+ 1)y
6、 7m 4=0.(1) 证明：无论 m取何值，直线I与圆C恒有两个公共点。(2) 求直线I被圆C截得的线段的最短长度，并求出此时的m值.11. 4直线与圆圆与圆的位置关系21.两圆xy2二 r2与(x-3)2 (y 1)2 = r2(r 0)外切，则的值是()A. 10C .5x2+y2=1相切，则该直线的斜率是土-3D . , 333.直线x+ 7y 5=0分圆x2+y2=1所成的两部分弧长之差的绝对值是2 .过点(一A. 12, 0)的直线与圆B . C.A4 B2 Cn D4. 已知圆x .若两圆x2 + y2=m，与x2 + y2+ 6x 8y 11=0有公共点，则实数 m的取值范围是
7、(A . mv 1 B . m 121 C. 1 m 121 D . 1v mv 1212. 若直线x+ .3 y=m与圆x2 + y2=1的两个交点都在第一象限，则m的取值范围是(A. (1, 2)B. ( 2, 2) C. (1, .3 ) D. ( .3 , 2) 23. 已知圆(x 3) + y =4和直线y=mx的交点为P、Q,则|OP| |OQ等于()+y2=25则过点B (-5, 2)的切线方程是.2 25圆(X -3) (y 1) =1关于直线x+2y-3=0对称的圆的方程是.6. 求圆心为(2, 1),且与已知圆x2 y2 -3x =0的公共弦所在直线过点(5, -2)的圆的
8、方程.7.两圆x2 y2 4 0,x2 y2 2(a - 1)x 2y a2 =0在交点处的切线互相垂直，求实数a的值.2 2 2&已知圆O： x y =1和抛物线y =x - 2上三个不同的点 A、B、51 m22B. 1 + m C. 5 D . 10C,如果直线 AB和AC都与圆O相切，求证：直线 BC也与圆O相切.4.过点P (3, 0)作圆x2 + y2 8x 2y+ 12=0的弦，其中最短的弦长为.5. 直线x=2被圆(x a)2+ y2=4所截得的弦长等于2 3 ,则a的值为.6. 求圆心在直线 5x-3y=8上，且与坐标轴相切圆的标准方程.&当a取不同的非零实数时,(1)这些圆
9、的圆心是否共线?如果不共线，请说明理由.7. 求经过点P (- 2, 4),且以两圆：x2 + y2-6x=0, x2 +=4公共弦为一条弦的 圆的方程.由方程x2 + y2 2ax 2 ，3 ay+ 3a2=o,可以得到不同的圆， 问:(2)这些圆是否有公切线， 如果共线，试求出公切线的方程；11. 4直线与圆圆与圆的位置关系【典型例题】例1、(1) D .提示：P在圆外.(2) C 提示：两圆内切或内含.(3) D 提示：从纯代数角度看，设 t=,则y=tx，代入已知的二元二次方程，用 0可x解得t的范围。从数形结合角度看，1是圆上一点与原点连线的斜率，切线的斜率是边界.x(4) 3x 4
10、y *15=0或x *3=0 .提示：用点到直线的距离公式，求直线的斜率.(5) x2 y2 -6x 2y-3 = 0提示：经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设出，其中的一个待定系数，可依据圆心在已知直线上求得.例2、解法一已知圆的方程可化为标准式 x2+( y 1) 2=2,圆心是(0, 1)，半径r= .2 ,设圆心到直线I的距离为d,则 d=弦长AB =2斤2 305解法由方程组22X；y 一仁 消去 y 得:x y -2y i = 05x2 8x+ 2=0z设 A (Xi,yi),B( X2,y2),xi、X2 是方程(探)的两根 * 8 xi x22XiX25I Xi X2 I
11、= XiI AB I = , i + k2 I例 3、(1 )圆 Oi2 , 2 6 x2 ； 4x25Xi-X2I =12255的方程为：X2+ (y + i)2=4,圆心 Oi ( 0, i),半径ri=2.设圆02的半径为2,由两圆外切知IOiO2 I = ri +2而 I OQ2 I = -(2二0)2仆“2 =2 2二2= I OiO2 I ri=2 2 2圆。2 的方程为(X 2)2 + (y i)2=i2 8 2(2)设圆。2的方程为(X 2)2+ (y i)2=22,又圆Oi的方程为：X2 + (y+ i)2=4，两方程 的二次相系数相同，两式相减得两圆公共弦AB所在的直线方程
12、为：4x+ 4y + Q2 8=0,作 OiH 丄 AB 于 H，则 I AH I =2 I AB I = ,224x0 +4乂(_i)+r2-8叮-i24 2r22 -i242圆。2 的方程为(X 2)2 + (y i)2=4 或(X 2)2+ (y i)2=20例4、解法一 设反射光线与圆相切于D点点A关于x轴的对称点的坐标为 Ai (0, 2 ),则光从A点到切点所走的路程为丨Ai D | .在 RtAAi CD 中，2 CD=2，得 r22=4 或 r22=202AD= AC2 =(-6)2(-2 -4)2 -36 = 36 955I Aid l =空.5即光线从A点到切点所经过的路程
13、是18、.55解法二 设圆心C (6, 4)关于x轴的对称点为 C ( 6, 4),过点A作圆C的切线，切点 为E,则光从A点到切点所走的路程等于l AE | .36936 -55在 RtAAC E 中，2 2 2 2AE =AC -C E =(0 6) +(2+4)18.55即光线从A点到切点所经过的路程是18、55【课内练习】1. D .提示:将圆心之距与半径的和、差比大小.2. A .提示:求出交点坐标(X0,y),令X02+ y2v 9.3. B .提示：注意内且与外切均有可能.4. A .提示：考虑两直线的斜率关系 (相等)，再考虑原点到直线的距离与半径的大小比较.5. V圆与直线
14、x+y-1=0相切，并切于点 M ( 2,-1),则圆心必在过点 M (2,-1 )且垂直于 x+y-1=0的直线I上，I的方程为y=x-3,y =x 3x =1由1二，2x+y =0 y=-2即圆心为C (1 , -2),r= .(2 -1)2(-12)2 二 2,所求圆的方程为：2 2(x-1) +(y+2)=2.6. x + 7y + 19=0 提示：求直线方程，只须求直线上两点同时满足的一个二元一次方程， 将P、Q两点的坐标统一设为(x,y),找x、y满足的方程只须使用相切与点在圆上即可.从另一角度讲，点 M、圆心C、切点P、Q四点共圆，直线 PQ为该圆与已知圆的公共 弦所在的直线。故将两圆方程的二次项系数化为1,相减即得.7. (1, 1).提示：将a取两个特殊值，得两个圆的方程，求其交点，必为所求的定点，故求出交点坐标后，只须再验证即可。
