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1、初二同步辅导材料北师版八上4.2 平行四边形的判定同步辅导教学目标与要求：经历平行四边形判别条件的探索过程，在有关活动中发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯，探索并掌握平行四边形的判别条件判定一个四边形为平行四边形，从而判定直线平行先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题，逐步掌握说理的基本方法。本讲重点： 探索并掌握平行四边形判别条件本讲难点：理解平行四边形的性质和判别是“互逆”的两个过程，学会正确区分它们A.关于平行四边形必须熟记的内容：1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、性质：平行四边形的对边平行且相等 平行四边形的对角相等 平行四边形的对
2、角线互相平分 3、判别：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形注意：（1）平行四边形的定义既可作为其性质，又可作为其判别（2）若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线间的距离。 B考点指要平行四边形的判别是平行四边形的重要内容，也是中考的重要内容之一，中考试题经常涉及平行四边形的判别有五种：；从角上看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；从对角线上看：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形用平行四边形的性质和判别可以解决有关角相等或互
3、补、线段相等或倍分、两直线平行等问题一般是先判别一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质解决有关问题三典型例题例1 如图，ABCD中，AC交BD于点O，E、F分别是AO、CO的中点，试判断四边形BFDE是否为平行四边形。解：四边形ABCD是平行四边且对角线交于点O OA=OB，OC=OD 又E、F分别是AO、CO的中点 OE=OF 即BD、EF互相平分 四边形BFDE是平行四边形。说明：判定一个四边形是平行四边形的方法很多，解题时一定要仔细观察图形，认真分析条件，选择适当方法。 例2如图，已知四边形ABCD中，A=C，B=D，求证：四边形ABCD是平行四边形。证明：连结AC 由三角形内角
4、和180可知，B+BAC+BCA=180=D+DAC+DCA 四边形ABCD中，A+B+C+D=360 A=C，B=D A+B=180 ADBC 同理ABCD 四边形ABCD是平行四边形说明：这里是用定义证明的，事实上本题可以有多种证法。 例3 如图，在ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形。求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形。证明：ABCD中，对角线AC交BD于点O，OB=OD又四边形AODE是平行四边形AEOD且AE=ODAEOB且AE=OB四边形ABOE是平行四边形同理，四边形DCOE也是平行四边形说明：这里既应用了平行四边形对边平行且相等的性质，
5、又用了其对角线互相平分的性质；最后由一组对边平行且相等判定平行四边形。例4 如图，BCE和DAF是分别以ABCD的边BC、AD为斜边的等腰直角三角形，求证：BD平分EF。分析：要证BD平分EF，连结BF、DE，即要证四边形BEDF为平行四边形，可设法证BE、FD平行且相等。证明：ABCD中，AD=BC，且BCE和DAF是分别以BC、AD为斜边的等腰直角三角形 DF=BE（由勾股定理或三角形全等可知） ABCD中，ADBC， ADB=CBD 又ADF=CBE=45 BDF=DBE DFBE 四边形BEDF为平行四边形 BD平分EF例5如图，已知ABC中，AD是BC边上的中线，BME是AMD绕点A
6、旋转180得到的，连结AE，求证：DE=AC证明：BME是AMD绕点A旋转180得到的 AM=BM，DM=EM 四边形ADBE是平行四边形 AE、BD平行且相等 又D为BC中点，BD=CD AE、CD平行且相等 四边形ACDE是平行四边形 DE=AC说明：这里综合运用了平行四边形的判定方法及平行四边形的性质。例6：如图4-14，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF，求证：四边形BEDF是平行四边形思路分析本题主要考查平行四边形的判别方法和性质的综合运用能力，灵活运用平行四边形的判别方法，去创造条件进行证明是解题关键，本题的证明方法较多证法一：四边形ABCD是平行四边形，
7、ADBC，AD=BCCAD=ACB （两直线平行，内错角相等）在ADE和CBF中，ADECBF（SAS），DE=BF，同理，BE=DF，四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）证法二：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BCCAD=ACB在ADE和CBF中，ADECBF（SAS），DE=BF，AED=CFB，DEF=BFE，（等角的补角相等）DEBF，（内错角相等，两直线平行）四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）证法三：如图4-15，连结BD交AC于O四边形ABCD是平行四边形，AO=CO，BO=DO，（平行四边形的对角线互相平
8、分）又AE=CF，AO-AE=CO-CF，EO=FO，四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）点评：判别平行四边形的方法较多，熟练掌握平行四边形的判别方法是解题的关键本章的证明有一个很大的特点就是思路灵活，方法多样，可谓“条条道路通罗马”同学们在平时训练时不妨多练练“一题多解”，拓宽思路，这对提高逻辑思维能力，分析问题、解决问题的能力都很有帮助四、巩固练习1、 选择题(1) 四边形ABCD中，ADBC，且AD=BC，若AB=4cm，则DC=（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm（2）能判定四边形是平行四边形的条件是（ ）（A）一组对边平行，另一组
9、对边相等 （B）一组对边相等，一组邻角相等 （C）一组对边平行，一组邻角相等 （D）一组对边平行，一组对角相等(3) 已知线段a=10cm，b=14cm，c=8cm，以其中两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画（ ）个形状不同的平行四边形。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 52、 填空题（1）如图，ABC、ACE、ECD都是等边三角形，则图中的平行四边形有 。（2）在四边形ABCD中，若已知ABCD，则再增加条件 即可使ABCD成为平行四边形。（3）将ABC绕着点A旋转180后得到ADE，由 可以判定顺次连结B、C、D、E所得的四边形是平行四边形。（4）如图，已知点A、B、E在一条直
10、线上，AB=DC，C=CBE，则四边形ABCD是平行四边形的理由是 。（5）如图，已知直线ab，则ABC于DBC面积相等的理由是 。（6）如图，在ABCD中，两对角线交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，则以图中的点为顶点的平行四边形有 个，请在图中画出来，它们分别是 。（7）如图，在ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，则线段BE、DF的关系为 。3、 解答（1）如图，ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，试判断四边形AFCE是否为平行四边形。（2）如图，ABCD中，AE、CF分别是DAB、BCD的角平分线，你认为四边形AFCE
11、是平行四边形吗？如果是，请说明理由。（3）如图，ABCD中，延长BA到点E、延长DC到点F，使BE=DF，连结AF、CE分别交BC、AD于点H、G，求证：EG=FH。开放与探索 1. 已知四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，能否得出四边形ABCD是平行四边形的结论？ （1）ABCD； （2）BCAD； （3）AB=CD； （4）BC=AD； （5）A=C； （6）B=D； 2. 如图，已知平行四边形ABCD，试用两种方法，将平行四边形ABCD分成面积相等的四部分，（要求用文字简述你所设计的两种方法，并在给定的平行四边形中正确画图）。【典型热点考题】例1 如图4-8，中，AEBD，C
12、FBD，垂足E、F、G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分解：证法一： AEBD，G是AD的中点， GE=GD=，GED=GDE同理可证：HF=HB=，HFB=HBF ， ，GDE=HBF GE=HF，GED=HFB GEHF 四边形GEHF是平行四边形 EF和GH互相平分证法二： 容易证明ABECDF， BE=DF ， G、H分别是AD、BC的中点， DG=BH，四边形BHDG是平行四边形 BD和GH互相平分设BD和GH相交于O，即OG=OH，OB=OD又 BE=DF， OE=OF EF和GH互相平分点拨：平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的，往往更多的是求线段的相等，角的相等，直线的平行，线段的互相平分等等，要灵活地根据题中已知条件，以及定义、定理等，先判定某一四边形为平行四边形，然后再应用平行四边形的性质加以证明例2 如图4-9，在：中，分别过各顶点向对角线作垂线BE、CH、DG、AF，垂足为E、H、G、F，求证：四边形EFGH为平行四边形点悟：判定平行四边形的定理较多，观察图形，结合题设条件，证明线段EG和FH相互平分，条件更为充分，只需证BF=DH，AE=CG即可解： ABDCDB(SSS)，
