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1、 必考解答题模板成形练(六)函数与导数(建议用时：60分钟)1已知函数f(x)x3ax2b(a，bR)(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若对任意a3,4，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围解(1)因为f(x)x3ax2b，所以f(x)3x22ax3x.当a0时，f(x)0，函数f(x)没有单调递增区间；当a0时，令f(x)0，得0x.故f(x)的单调递增区间为；当a0时，令f(x)0，得x0.故f(x)的单调递增区间为.综上所述，当a0时，函数f(x)没有单调递增区间；当a0时，函数f(x)的单调递增区间为；当a0时，函数f(x)的单调递增区间为.(2)由(1)知，a3
2、,4时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(，0)和，所以函数f(x)在x0处取得极小值f(0)b，函数f(x)在x处取得极大值fb，由于对任意a3,4，函数f(x)在R上都有三个零点，所以即解得b0，因为对任意a3,4，b恒成立，所以bmax4，所以实数b的取值范围是(4,0)2已知函数f(x)ln x1，aR.(1)若曲线yf(x)在点P(1，y0)处的切线平行于直线yx1，求函数yf(x)的单调区间；(2)若a0，且对x(0,2e时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围解(1)直线yx1的斜率k1，函数yf(x)的导数为f(x)，f(1)a11，即a2.f(x)ln x1，f(x)
3、.f(x)的定义域为(0，)由f(x)0，得x2；由f(x)0，得0x2.函数f(x)的单调增区间是(2，)，单调减区间是(0,2)(2)a0，f(x)0对x(0,2e恒成立，即ln x10对x(0,2e恒成立即ax(1ln x)对x(0,2e恒成立，设g(x)x(1ln x)xxln x，x(0,2eg(x)1ln x1ln x，当0x1时，g(x)0，g(x)为增函数，当1x2e时，g(x)0，g(x)为减函数，所以当x1时，函数g(x)在x(0,2e上取到最大值g(x)g(1)1ln 11，a的取值范围是(1，)3已知函数f(x)x3bx2cx3，yf(x)为f(x)的导函数，满足f(2
4、x)f(x)；f(x)0有解，但解却不是函数f(x)的极值点(1)求f(x)；(2)设g(x)x，m0，求函数g(x)在0，m上的最大值；(3)设h(x)lnf(x)，若对于一切x0,1，不等式h(x1t)h(2x2)恒成立，求实数t的取值范围解(1)f(x)x22bxc，f(2x)f(x)，函数f(x)的图象关于直线x1对称，b1.由题意，f(x)x22xc0中44c0，故c1.所以f(x)x3x2x3.(2)f(x)x22bx1 (x1)2，g(x)x|x1| 当0m时，g(x)maxg(m)mm2当m时，g(x)maxg，当m时，g(x)maxg(m)m2m，综上g(x)max(3)h(
5、x)2ln|x1|，h(x1t)2ln|xt|，h(2x2)2ln|2x1|当x0,1时，|2x1|2x1，所以不等式等价于0|xt|2x1恒成立，解得x1t3x1，且xt，由x0,1，得x12，1，3x11,4，所以1t1，又xt，t0,1，所求的实数t的取值范围是(1,0)4已知函数f(x)k(logax)2(logxa)2(logax)3(logxa)3，g(x)(3k2)(logaxlogxa)，(其中a1)，设tlogaxlogxa.(1)当x(1，a)(a，)时，试将f(x)表示成t的函数h(t)，并探究函数h(t)是否有极值；(2)当(1，)时，若存在x0(1，)，使f(x0)g
6、(x0)成立，试求k的范围解(1)(logax)2(logxa)2(logaxlogxa)22t22，(logax)3(logxa)3(logaxlogxa)(logaxlogxa)23t33t，h(t)t3kt23t2k，(t2)h(t)3t22kt3设t1，t2是h(t)0的两根，则t1t20，h(t)0在定义域内至多有一解，欲使h(t)在定义域内有极值，只需h(t)3t22kt30在(2，)内有解，且h(t)的值在根的左右两侧异号，h(2)0得k.综上：当k时h(t)在定义域内有且仅有一个极植，当k时h(t)在定义域内无极值(2)存在x0(1，)，使f(x0)g(x0)成立等价于f(x)g(x)的最大值大于0.tlogaxlogxa，m(t)t3kt2k2t2k，(t2)，m(t)3t22ktk20得t1k，t2.当k2时，m(t)maxm(k)0得k2；当0k2时，m(t)maxm(2)0得k2；当k0时，m(t)maxm(2)0不成立当6k0时，m(t)maxm(2)0得6k；当k6时，m(t)maxm0得k6.综上得：k的取值范围是.
