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1、归纳与技巧：用样本估计总体基础知识归纳一、作频率分布直方图的步骤1. 求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）.2. 确定组距与组数.3. 将数据分组.4. 列频率分布表.5. 画频率分布直方图.二、频率分布折线图和总体密度曲线1. 频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图.2. 总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线 图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.三、样本的数字特征数字特征定义众数在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数中位数将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两
2、个数 据的平均数）叫做这组数据的中位数,在频率分布直方图中，中位数左边和右边 的直方图的面积相等平均数样本数据的算术平均数.即x =n（x1+x2+xn）方差s2=-(xt x )2 + (X. x )2(x x )2,其中s为标准差四、茎叶图茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，方便记录与表示基础题必做C24 与30D26 与 30解析：选 B 观察茎叶图可知，这组数据的众数是31，中位数是26.2（教材习题改编）把样本容量为20 的数据分组，分组区间与频数如下：10,20），2；20,30），3 30,40），4；40,50），5；50,60），4；60,70，2，则在区间10
3、,50）上的数据的频率是（）A0.05B0.25C0.5D0.7解析：选D由题知，在区间10,50）上的数据的频数是2+3+4+5 = 14,故其频率为1420= 0.7.3 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在120,130内的学生人数为（）A20频率C30D35解析：选 C 由题意知 aX 10+0.35+0.2+0.1+0.05 = 1,则a=0.03，故学生人数为0.3X100 = 30. 4（教材习题改编）甲、乙两人比赛射击，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：5、6、9、10、5，那么这两
4、人中成绩较稳定的是解析：x = 7, s乙 = 4.4, 则s甲 s乙，故乙的成绩较稳定.答案： 乙5.将容量为n的样本中的数据分为6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的数据的 频率之比为2 ： 3 ： 4 ： 6 ： 4 ： 1，且前三组数据的频数之和为27,则n=.234927 9解析：依题意得，前三组的频率总和为2 + 3 + 4 + 6 + 4+1=20，因此有匚=20， 即 n = 60.答案： 60解题方法归纳1.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值， 而平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
5、，众 数是最高的矩形的中点的横坐标2注意区分直方图与条形图，条形图中的纵坐标刻度为频数或频率，直方图中的纵坐标刻度为频率/组距3方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，虽然方差与标准差在刻画样 本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差用样本的频率分布估计总体分布1典题导入例 1某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求图中 a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100 名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(
6、x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所 示，求数学成绩在50,90)之外的人数.分数段50,60)60,70)70,80)80,90)X : y1 : 12 : 13 : 44 : 5自主解答(1)由频率分布直方图知(2a + 0.02 + 0.03 + 0.04)X10 = 1,解得a = 0.005.(2) 由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55X0.005X10 + 65X0.04X10 +75 X 0.03 X10 + 85X 0.02 X10 + 95X 0.005 X 10 = 73(分).(3) 由频率分布直方图知语文成绩在 50,60), 60,70)
7、, 70,80), 80,90)各分数段的人数依次为 0.005 X 10 X 100 = 5,0.04 X 10X100 = 40,0.03 X 10 X 100 = 30,0.02 X 10X 100 = 20.145由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40X2 = 20,30X3 = 40,20X4故数学成绩在50,90)之外的人数为100 - (5 + 20 + 40 + 25) = 10. 题多变在本例条件下估计样本数据的众数解：众数应为最高矩形的中点对应的横坐标，故约为65.2解题方法归纳解决频率分布直方图问题时要抓住(1) 直方图中各小长方形的面积之和为
8、1.(2)直方图中纵轴表示频率组距故每组样本的频率为组距X频率组距即矩形的面积(3)直方图中每组样本的频数为频率X总体数.3以题试法1.某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出若干名学生，并将其成绩绘制成频率分布直方图(如图)，其中成绩的范围是50,100，样本数据分组为50,60)，60,70)，70,80)，80,90)， 90,100，已知样本中成绩小于70分的个数是36，则样本中成绩在60,90)内的学生人数为.解析：依题意得，样本中成绩小于70分的频率是(0.010 + 0.020)X10 = 0.3;样本中成绩在60,90)36X 0.75内的频率是(0.020 +
9、0.030 + 0.025)X10 = 0.75，因此样本中成绩在60,90)内的学生人数为一乔=90.答案：90茎叶图的应用7典题导入甲乙8650884 0010287 52202 33 78 0031 2 44 83 142 38茎叶图表示（如图所示）.设甲、乙两组数据的平均数分别为x甲、x乙，中位数分别为m甲、m乙则甲乙甲乙（）A. x 甲 x 乙, m 甲m 乙B. x 甲 x 乙, m 甲乙C. x 甲x 乙, m 甲乙D. x 甲x 乙, m 甲乙自主解答匚甲=1(41 + 43 + 30 + 30 + 38 + 22 + 25 + 27 + 10 + 10 + 14 + 18 +
10、 18 + 5 + 6 + 8)= 3457 乙=116(42 + 43 + 48 + 31 + 32 + 34 + 34 + 38 + 20 + 22 + 23 + 23 + 27 + 10 + 12 + 18)=琴.二 x 甲 x 乙.又S甲= 20, m乙= 29,5甲S乙.答案 B2解题方法归纳由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况,这一点同频率分布直方图类似它优于频率分布直 方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据,没有任何信息损失；第二点是茎叶图便于记录和表示其缺点是当样 本容量较大时,作图较繁以题试法2 如图所示的茎叶图记录了一组数据,关于这组数据,其中说法正确的序号是.078999
11、101223众数是9；平均数是10；中位数是9或10；标准差是3.4.9+ 10 解析：由茎叶图知，该组数据为7,8,9,9,9,10,11,12,12,13,众数为9,正确；中位数是二一= 9.5，错；平均数是X = 110（7 + 8 + 9 + 9 + 9 + 10 + 11 + 12 + 12 + 13） = 10，正确；方差是 szp （710）2+ （810）2+ （910）2+ （910）2+ （910）2+ （1010）2+ （1110）2+ （1210）2+ （1210）2+ （13-10）2 = 3.4,标准差 s 34，错.答案： 样本的数字特征1典题导入例3 (1)样本
12、(X, x2，xn)的平均数为匚，样本5, y2，ym)的平均数为丁&工丁)若 1样本(X,x2，,x”,y,y2，ym)的平均数 z =ax +(1a) y，其中OvavQ，则n,m 的大小关系为()AnmC. n=mD.不能确定(2)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88若B样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A, B两样本的下列数字特征对应相同的是()A.众数B.平均数C.中位数D.标准差自主解答(1) xX1+X2+ +Xnn丁1+丁2+必”m9+%2+巴+儿mnnm+ nym+ nn1由题意知mmn m.(2) 对样
13、本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均 数都发生改变答案(1)A (2)D2解题方法归纳(1) 众数体现了样本数据的最大集中点，但无法客观地反映总体特征.(2) 中位数是样本数据居中的数.(3) 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据越分散，标 准差、方差越小，数据越集中.3以题试法3 . 一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，则该组数据的方差为()解析：选 D根据题意知，该组数据的平均数为45043046044045044047
14、0460450,所以该组数据的方差为1X(02+202 +102+ 102+02+102+202+102)=150.人级全员必做题1 某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为8,12,10,11,9，估计此人每次上班途中平 均花费的时间为()A8 分钟B9 分钟C. 11分钟D. 10分钟解析：选D依题意，估计此人每次上班途中平均花费的时间为8+12+10+11+9=10分钟.2. 容量为 20的样本数据，分组后的频数如下表：分组10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70)频数234542则样本数据落在区间10,40)的频率为()A. 0.35B. 0.45C. 0.55D. 0.659解析：选B求得该频数为2+3+4=9，样本容量是20,所以频率为20=0.45.3. 某厂10名工人在一个小时内生产零件的个数分别是15,17,14,
