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1、第6讲 矩阵分解内容:1. 矩阵的三角分解. 矩阵的满秩分解3. 矩阵的分解4 矩阵的Schu定理. 矩阵的谱分解和奇异值分解矩阵分解指将一种矩阵写成构造比较简朴的或性质比较熟悉的另某些矩阵的乘积它在控制理论和系统分析等领域有广泛应用1 矩阵的三角分解定义11 称为上三角矩阵,为下三角矩阵.特别地,称(或)的对角元素为的上(下)三角矩阵为单位上（下）三角矩阵三角矩阵是一类特殊的矩阵，具有特殊的性质1.Gauss消元法元线性方程组 ，其矩阵形式 ， 其中:，,.采用按自然顺序选主元素进行消元假定化为上三角矩阵的过程未用到行和列互换,按自然顺序进行消元,即进行行倍加初等变换,使,其中顺序主子式:,
2、.称这种对的元素进行的消元过程为ass消元法.2.矩阵的三角分解定义1. 如果方阵可分解成一种下三角矩阵和一种上三角矩阵的乘积，则称可作三角分解或分解,当是单位下三角矩阵时，则称此分解为的杜利特(Dolttle）分解;当是单位上三角矩阵时，则称此分解为的克劳特(Cout)分解如果方阵可分解成，其中是单位下三角矩阵,是对角矩阵，是单位上三角矩阵，则称可作分解定理 . 阶矩阵有三角分解或的充要条件是的顺序主子式不为零,即，()阶非奇异矩阵有三角分解或的充要条件是的顺序主子式都不为零,即，（）.注:矩阵的三角分解（)不是惟一的，而分解是惟一的. 设,则；.定理.2 设是正定矩阵，,则存在下三角矩阵,
3、使，如果具有正对角元素的下三角矩阵，则此分解是惟一的其中，. 称为的乔累斯基(Choesky)分解(平方根分解、对称三角分解). 例1. 已知矩阵,求的lesky分解.解:可求得.2 矩阵的满秩分解将矩阵分解为一种列满秩矩阵与一种行满秩矩阵的乘积,在讨论广义逆矩阵的问题中是非常重要的.定义2.1 设,若的秩,则称矩阵行满秩;若的秩,则称矩阵 列满秩若矩阵,存在矩阵及,有，则称为的一种满秩分解（或最大秩分解).定理2.1 任一矩阵,存在矩阵及,使得证明： 设，则存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵使得,有，记，,则得. 显然,满秩分解是不唯一的定义2 设，,且满足:1)的前行中每一行至少含一种非零元素（称
4、为非零行),且第一种非零元素为，而后行的元素全为零（称为零行）;) 若中第行的第一种非零元素（即）在第列，则; )矩阵的第列,第列,第列合起来恰为阶单位方阵的前列，称为原则形(行阶梯原则形)显然，可由初等行变换将其化为原则形，且使前行线性无关.定理 2.2 设的原则形为,那么在的满秩分解式中,为的第列构成的矩阵,为的前行构成的矩阵例.1 设,求其满秩分解解： ,于是,容易验证:.可以将原则形进行推广，从而得到同一矩阵的不同满秩分解例22 设，求其满秩分解解: , 于是，.即的满秩分解为.矩阵的分解以初等变换为工具的分解措施并不能消除病态线性方程组不稳定问题2世纪年代后来,人们以正交（酉)变换为
5、工具,给出了分解措施.1.分解定义1如果实（复)矩阵能化成正交(酉)矩阵与实（复）上三角矩阵的乘积，即，则称是的分解.2定理定理3.1 任何实的非奇异阶矩阵可以分解成正交矩阵和上三角矩阵乘积,即，且除去相差一种对角元素的绝对值（模)全为1的对角因子外,上述分解唯一 证明 设非奇异阶矩阵，其中依次为的各列向量,对正交化可得 ,其中 ,矩阵表达为，其中.对单位化可得，且，有, 即 .其中,是正交矩阵,是上三角矩阵.唯一性（反证法).设,则得，式中为上三角矩阵,于是，表白不仅为正交矩阵，并且还是对角元素绝对值（模）全为1的对角阵,从而, 定理3.2 设是的实（复)矩阵,且其个列线性无关，则具有分解.
6、其中是阶实(复）矩阵,且满,是阶实（复）非奇异三角矩阵.除了相差一种对角元素的绝对值（模)全为1的对角阵因子外,上述分解唯一.4 矩阵的chr定理定义41 设，如果存在阶正交(酉）矩阵,使得,（），则称正交（酉)相似于定理.1（Schr定理） 任何一种阶复矩阵都酉相似于一种上三角矩阵.即存在一种阶酉矩阵和一种阶上三角矩阵,使得其中的对角元是的特性值，它们可以按照规定的顺序排列定义4.设,如果，则称为正规矩阵.显然,对角矩阵，矩阵，反矩阵,正交（酉）矩阵都是正规矩阵定理4.2 阶矩阵酉相似于对角矩阵的充足必要条件是为正规矩阵证明 先证必要性设酉相似于对角矩阵，即存在酉矩阵,使,则即为正规矩阵 再
7、证充足性.由Scur定理知，存在酉矩阵，使得，其中是上三角矩阵,记.由于，因此比较两边的对角元素，即得，即推论4. 若为阶矩阵，则必酉相似于实对角矩阵，即存在阶酉矩阵，使得 ，是的特性值5 矩阵的谱分解和奇异值分解矩阵的谱分解和奇异值分解不仅是矩阵计算和矩阵理论的最基本和最重要的工具之一,并且在控制理论，优化问题,系统辨别和信号解决及其广义逆矩阵等方面均有直接的应用.1. 矩阵的谱分解定义.1 设为矩阵，是酉矩阵,将写成列向量形式,即,则称为矩阵的谱分解.定理5.1 设为矩阵,则存在酉矩阵，使，将写成列向量形式,即,则. 非奇异矩阵的奇异值分解引理5.1 设，则证明: 如果是齐次方程组的解,则
8、它显然是齐次方程组的解;反过来，如果是齐次方程组的解,则，即,因此，即是齐次方程组的解.因此,方程组 与 同解,从而.同理,可证.从而证明了结论引理52 设，则 1）与的特性值均为非负实数； 2）与的非零特性值相似，且非零特性值的个数等于证明：)设为的任一特性值，为相应的特性向量,则有，使，且有.因 ，因此 同理，可证的特性值均为非负实数.显然，矩阵的特性值是非负实数.2）显然,设,和的特性多项式分别记为和,因,，则有 ,即，因此与的非零特性值相似，且非零特性值的个数等于.结合引理51即得结论定义.2 设,的特性值,则称为的奇异值，并称为的正奇异值，其中定义5.3 设为阶非奇异矩阵，及为阶酉矩
9、阵，称为的奇异值分解,其中，.定理5. 设为阶非奇异矩阵，则存在阶酉矩阵及，使得，,即.证明:由于阶非奇异矩阵,并且是矩阵,正定矩阵,故存在阶酉矩阵,使, 为的特性值令，则，,.一般矩阵的奇异值分解定理53 设，则存在阶酉矩阵及阶酉矩阵,使，即证明： 因，故,是矩阵，且是半正定的，故存在阶酉矩阵,使得 ,为的特性值令:，, ,则令:，则,又,得.在的基本上构造酉矩阵，使得，这由基扩大定理可知是可行的，即有，因,故,即故定理得证.奇异值分解的求法可按证明环节求之例 求的奇异值分解.解第一步:求的正奇异值由于 ，因此的非零奇异值为，故.第二步:求酉相似对角化的矩阵相应于特性值和的原则正交特性向量为,故第三步:求酉矩阵显然 ,因此取, ,补充 则为酉矩阵第四步：求的奇异值分解
