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1、 1 1【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第10篇 第5节 古典概型与几何概型课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号简单的古典概型1、9、11古典概型与其他知识的综合4、7、10、15、16与长度(角度)相关的几何概型2、8与面积(体积)相关的几何概型3、5、6、12、13、14、16一、选择题1.(20xx兰州模拟)将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量p=(m,n),q=(3,6).则向量p与q共线的概率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:由题意可得:基本事件(m,n)(m,n=1,2,6)的个数=66=36.若pq,则6
2、m-3n=0,得到n=2m.满足此条件的共有(1,2),(2,4),(3,6)三个基本事件.因此向量p与q共线的概率为P=.2.在长为12 cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,则此正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为(A)(A)(B)(C)(D)解析:由题意可知6AM9,于是所求概率为P=.故选A.3.(20xx河南三市联考)在区间-,内随机取两个数分别为a,b,则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+2有零点的概率为(B)(A)1-(B)1-(C)1-(D)1-解析:函数f(x)=x2+2ax-b2+2有零点,需=4a2-4(-b2+2)0,即a2+b22
3、成立.而a,b-,建立平面直角坐标系,满足a2+b2,点(a,b)如图阴影部分所示,所求事件的概率为P=1-.4.抛掷两枚均匀的骰子,得到的点数分别为a,b,那么直线+=1的斜率k-的概率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:记a,b的取值为数对(a,b),由题意知(a,b)的所有可能取值有36种.由直线+=1的斜率k=-,知,那么满足题意的(a,b)可能的取值为(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共有9种,所以所求概率为=.5.在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P,则点P到正方体各面的距离都不小于1的概
4、率为(A)(A)(B)(C)(D)解析:正方体中到各面的距离不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合,且棱长为1的正方体,该正方体的体积是V1=13=1,而原正方体的体积为V=33=27,故所求的概率为P=.6.(20xx高考湖北卷)由不等式组确定的平面区域记为1,不等式组确定的平面区域记为2.在1中随机取一点,则该点恰好在2内的概率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:由题意作图,如图所示,1的面积为22=2,图中阴影部分的面积为2-=,则所求概率P=.7.(20xx宁波模拟)设a1,2,3,4,b2,4,8,12,则函数f(x)=x3+ax-b在区间1,2上有零点的概率为(C)(A)
5、(B)(C)(D)解析:因为f(x)=x3+ax-b,所以f(x)=3x2+a.因为a1,2,3,4,因此f(x)0,所以函数f(x)在区间1,2上为增函数.若存在零点,则解得a+1b8+2a.因此可使函数在区间1,2上有零点的有a=1,2b10,故b=2,b=4,b=8;a=2,3b12,故b=4,b=8,b=12;a=3,4b14,故b=4,b=8,b=12;a=4,5b16,故b=8,b=12.根据古典概型可得有零点的概率为.二、填空题8.在区间0,10上任取一个实数a,使得不等式2x2-ax+80在(0,+)上恒成立的概率为.解析:要使2x2-ax+80在(0,+)上恒成立,只需ax2
6、x2+8,即a2x+在(0,+)上恒成立.又2x+2=8,当且仅当x=2时等号成立,故只需a8,因此0a8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为=.答案:9.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为的概率是.解析:如图,在正方形ABCD中,O为中心,从O,A,B,C,D这五点中任取两点的情况有=10种.正方形的边长为1,两点距离为的情况有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D)4种,故P=.答案:10.曲线C的方程为+=1,其中m、n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数,事件A=“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”,那么P(A)=.解析:试验中所含基
7、本事件个数为36;若想表示椭圆,则前后两次的骰子点数不能相同,则去掉6种可能,既然椭圆焦点在x轴上,则mn,又只剩下一半情况,即有15种.因此P(A)=.答案:11.(20xx高考浙江卷)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),这2名都是女同学的概率等于.解析:用A,B,C表示三名男同学,用a,b,c表示三名女同学,则从6名同学中选出2人的所有选法为:AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,ab,ac,bc,共15种选法,其中都是女同学的选法有3种,即ab,ac,bc,故所求概率为=.答案:12.(20xx长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCD
8、A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P,则点P到O的距离大于1的概率为.解析:V正方体=23=8,V半球=13=,=,P=1-.答案:1-13.(20xx北京模拟)将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是.解析:画出关于x,y的不等式组所构成的三角形区域,如图,三角形ABC的面积为S1=34=6,离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2=,所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P=1-=1-.答案:1-14.(20xx高考福建卷)如图,在边长为e(e为自然
9、对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为.解析:因为函数y=ex与函数y=ln x互为反函数,其图象关于直线y=x对称,又因为函数y=ex与直线y=e的交点坐标为(1,e),所以阴影部分的面积为2(e1-exdx)=2e-2ex=2e-(2e-2)=2,由几何概型的概率计算公式,得所求的概率P=.答案:三、解答题15.(20xx洛阳模拟)现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品.(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率.(2)如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率.解:(1)有放回地抽取3次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,
10、则x,y,z都有10种可能,所以基本事件总数为101010=103(种);设事件A为“连续3次都取出正品”,则包含的基本事件共有888=83种,因此P(A)=0.512.(2)可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z),则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,所以基本事件总数为1098.设事件B为“3件都是正品”,则事件B包含的基本事件总数为876,所以P(B)=.16.设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数,若对任意x1,2,都有|f(x)+g(x)|8,则称f(x)和g(x)是“友好函数”,设f(x)=ax,g(x)=.(1)若a1,4,
11、b-1,1,4,求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率;(2)若a1,4,b1,4,求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率.解:(1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”,则|f(x)+g(x)|(x1,2)所有的情况有x-,x+,x+,4x-,4x+,4x+,共6种且每种情况被取到的可能性相同.又当a0,b0时ax+在(0,)上递减,在(,+)上递增;x-和4x-在(0,+)上递增,对x1,2可使|f(x)+g(x)|8恒成立的有x-,x+,x+,4x-,故事件A包含的基本事件有4种,P(A)=,故所求概率是.(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”,a是从区间1,4中任取的数,b是从区间1,4中任取的数,点(a,b)所在区域是长为3,宽为3的矩形区域.要使x1,2时,|f(x)+g(x)|8恒成立,需f(1)+g(1)=a+b8且f(2)+g(2)=2a+8,事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分.P(B)=,故所求的概率是.
