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1、四边形中的相似问题专题题型一：平行四边形中的相似问题例14. ( 2006威海)已知：如图 ，在ABCD中，O为对角线 BD的中点.过 O的直线 MN 交直线AB于点M ,交直线CD于点N;过O的另一条直线 PQ交直线AD于点P,交直线BC 于点Q,连接PN、MQ.團图(1) 试证明 PON与厶QOM全等；(2) 若点O为直线BD上任意一点，其他条件不变，则 PON与厶QOM又有怎样的关系试 就点O在图 所示的位置，画出图形，证明你的猜想；(3) 若点O为直线BD上任意一点(不与点 B D重合)，设OD: OB=k, PN=x, MQ=y，则y与x之间的函数关系式为 _y=.k考点： 专题：
2、分析：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质. 综合题.(1) 根据平行四边形的性质容易得到全等条件证明 DOPA BOQ, PONA QOM , 然后利用全等三角形的性质得到 PO=QO, MO=NO,然后再证明 PONA QOM就可 以解决问题；(2) 点O为直线BD上任意一点，则 MOQNOP.根据 AP/ BQ, BM / CN可以 得到比例线段，而 / NOP=Z MOQ，可以证明 MOQs NOP了；(3) 根据(2)和已知可以得到，根据这个等式可以求出 y与x之间的函OB ON数关系式.解答：（1）证明：在平行四边形 ABCD中，AD/ BC, / PD
3、O=Z QBO./ / DOP=Z BOQ, DO=BO, DOPA BOQ. PO=QO. （2 分）同理MO=NO./ / PON=Z QOM , PONA QOM . （4 分）（2）解：画图.（5分） MOQsA NOP. （6 分）/ AP/ BQ, BM II CN, OD: OB=OP: OQ, OD: OB=ON: OM. OP: OQ=ON: OM . （ 7 分） / NOP=Z MOQ. MOQs NOP. （8 分）解：根据(2)和已知可以得到譽点评：此题综合性比较强，把全等三角形，相似三角形放在平行四边形的背景下，综合利用 这些知识来解题.15 . (2010?成都)
4、已知：在菱形 ABCD中，O是对角线BD上的一动点.(1 )如图甲，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q,当O是BD的中点时，求 证：OP=OQ(2)如图乙，连接AO并延长，与DC交于点R,与BC的延长线交于点 S.若AD=4, / DCB=60 ,考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质. 专题：综合题.分析：(1)求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证 OD&A OBP.(2)首先求AS的长，要通过构建直角三角形求解；过A作BC的垂线，设垂足为 T,在RtAABT中，易证得/ ABT=Z DCB=60 ,又已知了斜边 AB的长，通过解直
5、角三角形 可求出AT、BT的长；进而可在 RtA ATS中，由勾股定理求出斜边 AS的值；由于四边 形ABCD是菱形，则 ADI BC,易证得 ADOs SBO,已知了 AD BS的长，根据相 似三角形的对应边成比例线段可得出OA、OS的比例关系式，即可求出OA、OS的长；同理，可通过相似三角形 ADR和厶SCR求得 AR、RS的值；由OR=O& RS即可求出OR的长.解答:(1)证明：/ ABCD为菱形， AD / BC. / OBP=Z ODQ O是BD的中点， OB=OD在厶BOP和厶DOQ中，/ / OBP=Z ODQ, OB=OD, / BOP=Z DOQ BOPA DOQ (ASA
6、) OP=OQ(2)解：如图，过 A作AT丄BC,与CB的延长线交于 T./ ABCD是菱形，/ DCB=60 AB=AD=4, / ABT=60 AT=ABsin60= - ；TB=ABcos60 =2/ BS=10, TS=TB+BS=12 AS=./ AD/ BS, AODsSOB./ AS= :- i, OS丄AS.77同理可得 ARMA SRC乙仝丄丄 OR=O. RS=.(12 分)圉乙点评：此题考查了菱形的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质; 构建出直角三角形，求出 AS的长是解答此题的关键.(2)中能够正确的17. (2010?宁波)如图1在平面直角坐标系中，O是坐标原点
7、，？ABCD的顶点A的坐标为(-2，0)，点D的坐标为(0,时)，点B在x轴的正半轴上，点 E为线段AD的中点， 过点E的直线I与x轴交于点F,与射线DC交于点G.(1 )求/ DCB的度数；(2)连接OE,以OE所在直线为对称轴， OEF经轴对称变换后得到 OEF,记直线EF 与射线DC的交点为H. 如图2，当点G在点H的左侧时，求证： DE3A DHE; 若 EHG的面积为3二 请直接写出点 F的坐考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；平行四边形的性质；轴对称的性质.专题：综合题；压轴题；数形结合；分类讨论.分析：(1)由于平行四边形的对角相等，只需求得/ DAO的度数即可，在
8、RtA OAD中，根据A、D的坐标，可得到 OA、OD的长，那么/ DAO的度数就不难求得了.(2)根据A、D的坐标，易求得E点坐标，即可得到AE、OE的长，由此可判定 AOE 是等边三角形，那么/ OEA=Z AOE=Z EOF =60由此可推出 OF/ AE,即/ DEH=Z OF E 根据轴对称的性质知 / OF EWEFA通过等量代换可得 / EFA=/ DGE=Z DEH,由此可 证得所求的三角形相似. 过E作CD的垂线，设垂足为 M，则EM EGH中GH边上的高，根据 EGH的 面积即可求得 GH的长，在题已经证得 DE3A DHE,可得DE2=DG?DH,可设出 DG的长，然后表
9、示出 DH的值，代入上面的等量关系式中，即可求得DG的长，根据轴对称的性质知：DG=AF,由此得到AF的长，进而可求得 F点的坐标，需注意的是， 在表示DH的长时，要分两种情况考虑：一、点H在G的右侧，二、点 H在G的左侧.解答：解：(1)在直角 OAD 中，/ tan / OAD=OD： OA= I;, / A=60 四边形ABCD是平行四边形， / C=/ A=60 ；(2) 证明：/ A (- 2, 0), D (0, 亦),且E是AD的中点， E (- 1 ,八),AE=DE=2 OE=OA=2, OAE是等边三角形，贝U / AOE=/ AEO=60 ；根据轴对称的性质知：/AOE=
10、/ EOF ,故/ EOF = AEO=60 ,即OF/ AE, / OF /=DEH;/ / OF =OFE=Z DGE, / DGE=/ DEH, 又/ / GDE=/ EDH , DGEA DEH.过点E作EM丄直线CD于点M ,/ CD/ AB, / EDM=Z DAB=60 ；弘egh?GH?ME？GH?二=3.；, GH=6;/ DHEA DEG,.二=丄即 de2=dg?dh,DG EE当点H在点G的右侧时，设 DG=x, DH=x+6, 4=x（x+6）,解得：xi = - 3+Y, X2= 3- I -（舍）,点F的坐标为（113, 0）;当点H在点G的左侧时，设 DG=x,
11、 DH=x- 6, 4=x (x - 6),解得：x仁3+iT：, x2=3-一 :(舍)，/ DEGAAEF, AF=DG=3+ I :,/ 0F=A0+AF=3+.；+2=.丨；+5,点F的坐标为(-好；-5, 0),_综上可知，点F的坐标有两个，分别是 Fi (1 - 1 :；, 0), F2 (-一 : - 5, 0).点评：此题涉及的知识点较多，主要有：平行四边形的性质、轴对称的性质、全等三角形以 及相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大.题型二：梯形中的相似问题21. (2000?朝阳区)已知：在梯形 ABCD中，AD/ BC,点E在AB上，点F在DC上,且AD=a, BC=b
12、.(1) 如果点E、F分别为AB、DC的中点，如图.求证：EF/ BC,且EF=_:;(2)如果2二丄二丄，如图，判断EF和BC是否平等，并用a、b、m、n的代数式表示 EF.请 EB_ECn考点：梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质；平行线分线段成比例.分析：(1)连接AF并延长，交 BC的延长线于 M,利用ASA可证 ADF MCF,那么，AF=MF, AD=CM，于是EF就转化为 ABM的中位线，那么 EFBM,而CM=AD,所以 EFjBM=_ ( BC+CM) =_ (BC+AD)；- 2 一p/匚匚一1|2(2) 证法和(1)相同，只是换成求线段的长先利用平行线分线段成比例定理的
13、推可证 AEFAABM, 从而有 EF: BM=AE: AB=m： ( m+n),而 AD: CM=m : BM代入上式即可求 EF.BC的延长线于点M , (1分)论，可得 AF: FM=AD: CM=DF: FC=m： n,从而在 ABM 中，AE: BE=AF: FM,再禾U 用比例线段的性质， 就有AE: AB=AF: AM,再加上一个公共角，则 / AEF=Z ABM ,那么 EF/ BM ,n,可求CM,那么BM可求，把解答：(1)证明：连接AF并延长，交/ AD / BM , / D=Z 1 ,点F为DC的中点， DF=FC又/ / 2=7 3, ADFA MCF, AF=FM,
14、 AD=CM, ( 3 分)点E为AB的中点， EF是厶ABM的中位线， EF/ BC, EF=BM，/ BM=BC+CM=BC+AD(AD+BC,即(a+b); (5 分)(2)答：EF/ BC, EF丄 irH-n证明：连接 AF并延长，交BC的延长线于点 M ,/ AD / BM , F1TC1TFC又二-丄_丄，在 ABM中，有丄-=_：EBFCnFM EB EF/ BC, （ 9 分）一 =仙ABmfn EFBM=d i 二厂十丁 i , （10 分）rrr+n irH-n而S FC n cm4二土，（11 分）it m ef亠（b）,rrr+n mEF上臥抄 m+n点评：本题利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推 论、比例线段的性质等知识.10. (2007?岳阳)已知：等腰 Rt ABC 中，/ A=90 (1) 如图1, E为AB上任意一点，以 CE为斜边作等腰 RtA CDE连接AD,
