《北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http:/sj.fjjy.org）”北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学测试题（理工类） 2013.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于 A B C D 开始结束输入x是否输出k2.“”是“直线与圆 相交”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3.执行如图所
2、示的程序框图若输入，则输出的值是A B C D 4.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为，则此双曲线的方程是 AB1正视图正视图俯视图CD5.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 A 140种 B 120种 C 35种 D 34种6.已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A B C D 7.设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是A B C D 8. 在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面
3、体的体积的最大值是 A B C D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为 .10. 如图，是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点.若，则= ， （用表示）. 11.若关于，的不等式组（是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则 .12. 在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 13.在直角三角形中，点是斜边上的一个三等分点，则 14. 将整数填入如图所示的行列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .三、解
4、答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知函数. （）求函数的最小正周期及单调递减区间；（）求函数在上的最小值.16. （本小题满分14分）在长方体中，点在棱上，且A1B1ECBD1C1AD（）求证：平面；（）在棱上是否存在点，使平面？ 若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由； （）若二面角的余弦值为，求棱的长17. （本小题满分13分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布
5、表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：组距频率成绩（分）频率分布直方图0.040x0.0085060807090100y频率分布表组别分组频数频率第1组50，60）80.16第2组60，70）a第3组70，80）200.40第4组80，90）0.08第5组90，1002b合计（）写出的值；（）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；（）在（）的条件下，设表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求的分布列及其数学期望.18. （本小题满分13分）已知函数（）若，求曲线在点处的切线方程；（
6、）求函数的单调区间；（）设函数若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围19.（本小题满分14分）已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，的面积为. （）求椭圆的方程；（）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由.20. （本小题满分13分）将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.（）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”
7、（不必证明）；（）对于由正整数排成的行列的任意数表，记其“特征值”为，求证：.北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学测试题答案（理工类） 2013.1一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案AACBDCBA二、填空题： 题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案；或 ； （注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（） 2分 4分所以函数的最小正周期为. 6分由，则.函数单调递减区间是，. 9分 ()由，得. 11分则当，即时，取得最小值. 13分（16）（本小题满分14分）A1B
8、1ECBD1C1AD证明：（）在长方体中，因为面， 所以 2分在矩形中，因为，所以 所以面 4分（）A1B1CBD1C1ADxyEz如图，在长方体 中，以为原点建立空间直角坐标系依题意可知， ，设的长为，则，假设在棱上存在点，使得平面设点，则，易知设平面的一个法向量为，则，即7分令得，所以因为平面，等价于且平面得，所以所以，所以的长为9分（）因为，且点，所以平面、平面与面是同一个平面由（）可知，面，所以是平面的一个法向量 11分由（）可知，平面的一个法向量为因为二面角的余弦值为，所以，解得故的长为 14分（17）（本小题满分13分） 解：（）由题意可知， 4分（）由题意可知，第4组有4人，第5
9、组有2人，共6人从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有种情况 6分设事件：随机抽取的2名同学来自同一组，则.所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是 8分（）由（）可知，的可能取值为，则 ，所以，的分布列为12分所以， 13分（18）（本小题满分13分）解：函数的定义域为， 1分（）当时，函数，所以曲线在点处的切线方程为，即3分（）函数的定义域为 （1）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减 4分（2）当时，（）若，由，即，得或； 5分由，即，得6分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 7分（）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增 8分（）因
10、为存在一个使得，则，等价于.9分令，等价于“当 时，”. 对求导，得. 10分因为当时，所以在上单调递增. 12分所以，因此. 13分另解：设，定义域为，.依题意，至少存在一个，使得成立，等价于当 时，. 9分（1）当时，在恒成立，所以在单调递减，只要，则不满足题意. 10分（2）当时，令得.（）当，即时，在上，所以在上单调递增，所以，由得，所以. 11分（）当，即时，在上，所以在单调递减，所以，由得.12分（）当，即时， 在上，在上，所以在单调递减，在单调递增，等价于或，解得，所以，.综上所述，实数的取值范围为. 13分 （19）（本小题满分14分）解：（）当时，直线的方程为，设点在轴上方，由解得,所以.因为的面积为，解得.所以椭圆的方程为. 4分（）由得，显然.5分设,则，6分,. 又直线的方程为，由解得，同理得.所以,9分又因为.13分所以,所以以为直径的圆过点. 14分（20）（本小题满分13分）证明：（）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，
