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1、DOC-高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结1 (1)高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结1 (1) 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹;双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a,|F1F2|不可忽视。若2a,|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a，|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线
2、的一支。 如 8表示的曲线是_(答:双曲线的左支) 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): abab 方程Ax2,By2 C表示椭圆的充要条件是什么,(ABC?0，且A，B，C同号，A?B)。 (1)椭圆:焦点在x轴上时 x 22 , y 22 (a b 0)，焦点在y轴上时 1 y 22 , x 22 ,1(a b 0)。 若x,y R，且3x2,2y2 6，则x,y的最大值是_，x2,y2的最小值是_ 2) 。方程,2 =1，焦点在y轴上:2,2,1(a 0,b 0)2 abab 22 。 Ax,By C表示双曲线的充要条件是什么,(A
3、BC?0，且A，B异号) 如设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e 则C的方程为_(答:x2,y2 6) (3)抛物线:开口向右时y2 2px(p 0)，开口向左时y2 ,2px(p 0)，开口向上时 x 2py(p 0)，开口向下时x ,2py(p 0)。 2 2 (2)双曲线:焦点在x轴上: x 2 y 2 y 2 x 2 2的双曲线C过点P(4,)， 3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断): (1)椭圆:由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 如已知方程 x 2 m,1 , y 2 2,m 1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_(答
4、: 3 (, ,1) (1,) 2 (2)双曲线:由x 2 ,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 222222 提醒:在椭圆中，a最大，a b,c，在双曲线中，c最大，c a,b。 4.圆锥曲线的几何性质: ,2 1(a b 0)为例):?范围:,a x a,b y b;?焦点:两2ab 个焦点( c,0);?对称性:两条对称轴x 0,y 0，一个对称中心(0,0)，四个顶点( a,0),(0, b)， (1)椭圆(以 x 2 y 2 其中长轴长为2a，短轴长为2b;?准线:两条准线x e越小，椭圆越圆;e越大
5、，椭圆越扁。 a 2 c ; ?离心率:e ca ，椭圆 0 e 1， 如(1)若椭圆 x 2 3 (2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为 5 m 5 , y 2 1的离心率e ，则m的值是_(答:3或 25 ); _(答:22) ab 两个焦点( c,0);?对称性:两条对称轴x 0,y 0，一个对称中心(0,0)，两个顶点( a,0)，其 2 2 (2)双曲线(以 x2 , y2 :?范围:x ,a或x a,y R;?焦点: 1(a 0,b 0)为例) 中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x
6、,y k,k 0;?准线:两条准线x 2 2 a 2 c ; ?离心率:e ca ，双曲线 e 1 bax。 p e e越小，开口越小，e越大，开口越大;?两条渐近线:y (3)抛物线(以y2 2px(p 0)为例):?范围:x 0,y R;?焦点:一个焦点( ,0)，其中p 2 的几何意义是:焦点到准线的距离;?对称性:一条对称轴y 0，没有对称中心，只有一个顶点(0,0); ?准线:一条准线x , p2 ; ?离心率:e ca ，抛物线 e 1。 116a 如设a 0,a R，则抛物线y 4ax2的焦点坐标为_(答:(0,5、点P(x0,y0)和椭圆 xa 22 ; ) x0a 22 ,
7、yb 22 (1)点P(x0,y0)在椭圆外 1(a b 0)的关系:x0a 22 , y0b 2 2 1; (2)点P(x0,y0)在椭圆上 , y0b 2 2 ,1;(3)点P(x0,y0)在椭圆内 x0a 22 , y0b 2 2 1 6(直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交: 0 直线与椭圆相交; 0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件; 0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 0
8、也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 (2)相切: 0 直线与椭圆相切; 0 直线与双曲线相切;0 直线与抛物线相切; (3)相离: 0 直线与椭圆相离; 0 直线与双曲线相离;0 直线与抛物线相离。 提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线 x 22 ab 公共点的情况如下:?P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条;?P点在两条
9、渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条;?P在两条渐近线上但非原点，只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线;?P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。 , y 22 ,1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个 7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题: S b2tan当|y0| b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc;对于双曲线S btan 2 2 c|y0|， 。 如 (1)短轴长为5， 28、抛物线中与焦点
10、弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则?AMF,?BMF;(3)设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA?PB;(4)若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴， 反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。 9、弦长公式:若直线y kx,b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB ,1,x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB, 1k 2 y1,y2，若弦AB所在直线 方程设为x ky,b，则AB 1,y2。特别地，焦
11、点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计 算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 抛物线: 10、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆 xa 22 , yb 22 1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=, bx0ay0 2 2 ; 弦所在直线的方程: 垂直平分线的方程: 222 bx0xy 在双曲线2,2 1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2;在抛物线 ay0ab P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=y 2px(p 0中，以) 2 py0 。 提醒:因为 0是直线与圆锥曲线相
12、交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别 忘了检验 0 11(了解下列结论 (1)双曲线 xa 22 , yb 22 1的渐近线方程为 xa 2222 , yb 2222 0; 1共渐近线)的双曲线方程为 xa 22 (2)以y 参数， ?0)。 ba x为渐近线(即与双曲线 xa yb , yb 22 ( 为 (3)中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2,ny2 1; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为离)为 ，抛物线的通径为2p，焦准距为p; c (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线y2 2px(p 0)的焦
13、点弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则?|AB| x1,x2,p;?x1x2 p 2 2ba 2 ，焦准距(焦点到相应准线的距 b 2 4 ,y1y2 ,p 2 (7)若OA、OB是过抛物线y2 2px(p 0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0) 12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量u ,1,k,或u ,m,n,; (2)给出OA,OB与AB相交,等于已知OA,OB过AB的中点; PM,PN 0(3)给出,等于已知P是MN的中点; (5) 给出以下情形之一:?AB/AC;?存在实数 ,使AB AC;?若存在实数 , ,且
14、 , 1使,OC OA, OB,等于已知A,B,C三点共线. 等于已知P,Q与AB的中点三点共线; (4)给出AP,AQ BP,BQ, (6) 给出MA MB 0,等于已知MA MB,即 AMB是直角,给出MA MB m 0,等于已知 AMB是钝角, 给出MA MB m 0,等于已知 AMB是锐角, (8) 给出 , MP,等于已知MP是 AMB的平分线/ (9)在平行四边形ABCD中，给出(AB,AD) (AB,AD) 0，等于已知ABCD是菱形; |AB,AD| |AB,AD|，等于已知ABCD是矩形; (10) 在平行四边形ABCD中，给出 2 2 2 (11)在 ABC中，给出OA OB OC，等于已知O是 ABC的外心(三角形外接圆的圆 心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点); (12) 在 ABC中，给出OA,OB,OC 0，等于已知O是 ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点); (13)在 ABC中，给出OA OB OB OC OC OA，等于已知O是 ABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点); ABAC (14)在 ABC中，给出OP O
