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1、社一n（解唯一故为极大似然估计量）第七章参数估计1. 一随机地取8只活塞环，测得它们的直径为(以 mm计)74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002求总体均值及方差(7 2的矩估计，并求样本方差S2。_ 1 n解：卩，72 的矩估计是？=X =74.002 ,；:?2 二 v(Xi-X)2=6 10-6n i=S2 =6.86 10-6。2. 二设X1, X1,，Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布 律中的未知参数的矩估计量。(1)f (x)0cex 40 1) ,x c0,其它其中c0为已知，01, 0为未知参数。f (X
2、)Xx0二0 兰xE10,其它.其中00, 0为未知参数。#社一n（解唯一故为极大似然估计量）#社一n（解唯一故为极大似然估计量）(5) P(X =x)二 m Px(1-P)2,x =0,12 ,m,0 :： p ：1, p为未知参数。解：(1) E(X) = j 三xf(x)dxc0c0x dx二 1 二誥，令，得0X -c(2) E(X)二 xf (x)dx 0x 0dx 二 v 0,令 、0=X,得 0 二(一X )2J0J0 +1J0 +11-x 7(5) E (X) = mp 令 mp = X , 解得 p 丛 m3. 三求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。n解：(1 )似然
3、函数L(0)f (xi) = 0ncn0(x1x xn)i dd ln L(0)d 0nIn L(0) = n In(0)n0ln c (1 - 0)TnXj,i dnL(e)=u f(Xi)i 4n_n-e P(XiX2Xn) e，In L(e)二于n(e) C. e -1)、 I nXid In L(B)d e_n2L = InXj=O, e=（n Tn xi）2。（解唯一）故为极大似然估 2、e i4i =1计量。(5)nL( p) -Jl Ii生PX 二Xinnm、送 XimnXip (1 P) t ,nIn L(p) In mi 土n、Xii =1nIn p (mn - Xi) In
4、(1 - p),i=1d In L(p)dpn Xi i =1pnmn - Xi空 0 1 - p解得 pn7 Xii =2mnX，（解唯一）故为极大似然估计量。m4.四（2）设Xi , Xi,，Xn是来自参数为的极大似然估计量及矩估计量。入的泊松分布总体的一个样本，试求入解：（1）矩估计 X 冗（入）,E （X ）=入故P= X为矩估计量。n（2）极大似然估计L（入）：| P（Xi ；入）二i =1nJi入Tx1! x2!Xn!nIn L(入)八 Xi Ini &n入二.In Xi n 入i =12i A#社一n（解唯一故为极大似然估计量）#社一n（解唯一故为极大似然估计量）n = 0 ,解
5、得P = X为极大似然估计量。n1 Xid In L (入) i 彳d入#)Xi(其中e，Xj =0，)5.六一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有 10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求 p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下样品中属石灰石的石子数012345678910观察到石灰石的样品个数0167 23 26 21 12 310解：入的极大似然估计值为?= X =0.499四(1)设总体X具有分布律X123Pk2
6、e(1 e)(1 e) 24#4#其中0(0 0 D (T2)所以T2较为有效。14.十四设某种清漆的9个样品，其干燥时间(以小时计)分别为 6.05.7 5.86.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0。设干燥时间总体服从正态分布N (仏2),求的置信度为0.95的置信区间。(1)若由以往经验知(=0.6 (小时)(2)若2为未知。解: (1)卩的置信度为0.95的置信区间为(X二2 za ),Jn 0 6计算得 X =6.0,查表Z0.025 =1.96, 0.6,即为(6.0 _ 0；1.96) =(5.608,6.392)(2)卩的置信度为0.95的置信区间为(X _ S t a
7、(n-1),计算得X =6.0，查v n表 to.o25(8)=2.3O6O.S2 丄(Xi X)22.648j 8Q Q= 0.33.故为(6.0 一 一 2.3060) - (5.558,6.442)16.十六随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为s=11(m/s)。设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的标准差2的置信度为0.953的置信区间。解：2的置信度为0.95的置信区间为(治 T)S2 (n -1)S2、一忌 11 811(74 21 1) (爭n T) 31)一(帀誌 2( , 21)其中 a=0.05, n=9查表知X0.025 (8) =17.535,
8、 X0.975(8) =2.18019.十九研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s,取样本容量为n 1= n2=20.得燃烧率的样本均值4#分别为X1 =18cm/s,x2 =24cm/s.设两样本独立，求两燃烧率总体均值差一的置信度为0.99的置信区间。解：山一血的置信度为0.99的置信区间为(Xi0.052202) =(一6.04, -5.96).#其中 a=0.01 , z0.005=2.58,ni=n2=20, oi =七=0.05 , Xi =18, X? =2420.二十设两位化验员 A, B独立地对某中聚合物含氯
9、两用同样的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为 SA =0.5419, SB =0.6065.设oA, 02分别为A, B所测 定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。设两样本独立，求方差比oA. ffB的置信度为0.95的置信区间。解：oA.- o-B的置信度为0.95的置信区间#sA2SB F a (n1_1, n2- 1)sASB F1 a (n1- 1, n22#0.5419=(0.6065 4.030.5419 4.030.6065)=(0.222, 3.601).其中 n 1=n2=10, a=0.05, F.025(9,9)=4.03,F0.975 ( 9,9)_ 1F0.025#
