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选修4-2矩阵与变换习题

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选修4-2矩阵与变换习题_第1页
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①"Op3O初赛复赛甲8090乙868880 9086 882x 3y mz 1,3x 2y 4z 223m3-24—简记为280902 3m象Q的矩形数字(或字母)386883 2 4概念一:阵列称为 矩阵•通常用大写的拉丁字母 A、B C…表示,第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换一、二阶矩阵1. 矩阵的概念(2, 3),将5P的坐标排成一列,并简记为P2, 3)②某电视台举办歌唱比赛,甲、乙两名选手初、复赛成绩如下:0 #第1页共16页横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列•名称介绍:① 上述三个矩阵分别是 2X 1矩阵,2 X 2矩阵(二阶矩阵),2 X 3矩阵,注意 行的个数在前② 矩阵相等:行数、列数相等,对应的元素也相等的两个矩阵,称为 A= Bo行矩阵:[aii,ai2](仅有一行)0 #第1页共16页0 #第1页共16页④列矩阵:an(仅有一列)a21⑤向量a =( x,y ),平面上的点P (x,y )都可以看成行矩阵[x, y]或列矩阵,在本书中规定所有的平面向量0 #第1页共16页0 #第1页共16页x均写成列向量 的形式y练习1:,若 A=B,试求 x, y,zx 3 11•已知A , B2.设 A 2 x , B y 34 2 zm n x y,若 A=B,求 x,y,m,n 的值。

2x y m n概念二:由4个数a,b,c,d排成的正方形数表 a b称为二阶矩阵a,b,c,d 称为矩阵的元素c d0 0① 零矩阵:所有元素均为 0,即 ,记为0o0 01 0二阶单位矩阵: ,记为曰.0 #第1页共16页、二阶矩阵与平面向量的乘法定义:规定二阶矩阵A= a b ,与向量c dxax by ra bx的乘积为Ay ,即 a =ycx dyc dyax by cx dy第#页共16页练习2:2311.( 1)011121(2)=01310x1 亠x2.: ,求12y1y问题1:P( x,y )绕原点逆时针旋转180°得到P (x ' ,y '),称P为P在此旋转变换作用下的象其结果为x xy' y也可以表示为X, X 0 y,即 X y 0 x y y怎么算出来的?问题2. P( x,y )绕原点逆时针旋转 方程组形式;③写出矩阵形式 .30°得到P (x ' ,y '),试完成以下任务①写出象P;②写出这个旋转变换的三、二阶矩阵与线性变换1•旋转变换问题3.把问题2中的旋转30°改为旋转 角,其结果又如何?2. 反射变换定义:把平面上任意一点 P对应到它关于直线I的对称点P的线性变换叫做关于直线I的反射。

研究:P(x,y )关于x轴的反射变换下的象 P' (x ' ,y ')的坐标公式与二阶矩阵3. 伸缩变换定义:将每个点的横坐标变为原来的 k1倍,纵坐标变为原来的 k2倍,(k,、k2均不为0),这样的几何变换为 伸缩变换试分别研究以下问题:① .将平面内每一点的纵坐标变为原来的 2倍,横坐标不变的 伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.② .将每个点的横坐标变为原来的 k1倍,纵坐标变为原来的 k2倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.4. 投影变换定义:将平面上每个点 P对应到它在直线l上的投影P (即垂足),这个变换称为关于直线 l的投影变换研究:P(x,y )在x轴上的(正)投影变换的的坐标公式与二阶矩阵5. 切变变换定义:将每一点P( x,y )沿着与x轴平行的方向平移 ky个单位,称为平行于x轴的切变变换将每一点P( x,y ) 沿着与y轴平行的方向平移 kx个单位,称为平行于 y轴的切变变换研究:这两个变换的坐标公式和二阶矩阵练习:P10 1.2.3.4四、简单应用1. 设矩阵A= 1 0,求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象0 1练习:P13 1.2.3.4.5【第一讲•作业】1. 关于x轴的反射变换对应的二阶矩阵是 2. 在直角坐标系下,将每个点绕原点逆时针旋 二阶矩阵是 3. 如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵,则该旋转变换是 4. 平面内的一种线性变换使抛物线 y x2的焦点变为直线 y=x上的点,则该线性变换对应的二阶矩阵可以是 _5. 平面上一点A先作关于x轴的反射变换,得到点 A,在把A绕原点逆时针旋转180°,得到点A?,若存在一种反射变换同样可以使 A变为A,则该反射变换对应的二阶矩阵是第#页共16页第#页共16页6.P (1 , 2)经过平行于y轴的切变变换后变为点 P1(1,-5),则该切变变换对应的坐标公式为17•设A2x 1 y8.在平面直角坐标系中,zx2 4关于直线 y=-x2x,且 A=B.则 x =2 —的正投影变换对应的矩阵为9.在矩阵A 12对应的线性变换作用下,点P(2,1)的像的坐标为第#页共16页10.已知点A(2,—1), B1(—2, 3),则向量AB在矩阵 221对应的线性变换下得到的向量坐标为0第#页共16页第#页共16页11.向量a在矩阵12.已知A的作用下变为与向量,b = 3,设平行的单位向量,则 a =a b,①求 A , A ;13.已知A,若Aa与Ab的夹角为135°,求x.114. 一种线性变换对应的矩阵为释该线性变换的几何意义。

①若点A在该线性变换作用下的像为(5, — 5),求电A的坐标;②解15.在平面直角坐标系中,一种线性变换对应的二阶矩阵为②圆x2 y2 1上任意一点P(x), y0)在该变换作用下的像求①点A (1/5,3 )在该变换作用下的像;第#页共16页I答案:1. 1 0 2.0 19.13. x = 2/3 14.(5,y) 15.1322 3.:J12210.(2, 8) 11(0, 5)Xyo2R360o 4.0 a0 a匹辽222,辽225.1 06.0 171912. 、184第二讲 线性变换的性质•复合变换与二阶矩阵的乘法1.数乘平面向量:设x是任意一个实数,则xyy%X2 沖X22.平面向量的加法:设, 2,则y1y2*y2、数乘平面向量 与平面向量的加法 运算性质1:设A是一个二阶矩阵,是平面上的任意两个向量,A( ) A :②分配律:A( ) A A【探究1】对以上的性质进行证明,并且说明其几何意义直线性变换下的图形研究y kx b分别在以下变换下的像所形成的图形1 0①伸缩变换:0 2②旋转变换:③切变变换:④特别地:直线 x=a关于x轴的投影变换?性质2:二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成 (证明见课本P19)三、平面图形性变换下的像所形成的图形 分别研究单位正方形区域性变换下的像所形成的图形。

①恒等变换:②旋转变换:cos sinsincos2x7. — 1 8.y是任意一个实数,则①数乘结合律第#页共16页01③切变变换:0 1④反射变换:⑤投影变换:【练习:P27】【应用】试研究函数y-在旋转变换x作用下得到的新曲线的方程四、复合变换与二阶矩阵的乘法1•研究任意向量先在旋转变换2•二阶矩阵的乘积定义:设矩阵C1b1d1a2R30o :b2d2bid1a2tbd2【应用】121•计算-112.A =3•求cos-sinsincoscos-sin在经过切变变换4.设压缩变换在复合变换下的像;②求sincos:A=122作用,再经过切变变换2则A与B的乘积,求AB,及切变变换1:B=0,旋转变换R90o : B=1 2作用的向量x2两次变换后的像1将两个变换进行复合R90o,①求向量x在复合变换下的像;y③在复合变换下单位正方形变成什么图形?第#页共16页第#页共16页315.试研究椭圆2 2X y 1①伸缩变换0.5 0: ②旋转变换:22;③切变变换:1 2 :④反射变3 40 110 1221 0 换:;⑤投影变换:1 0五种变换作用下的新曲线方程0 10 0进一步研究在④②,①④等变换下的新曲线方程。

练习:P35】【第二讲•作业】A.B.C.D.1.下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是( )A.反射变换B.投影变换 C.切变变换 D.伸缩变换2.在切变变换1 0: 作用下,直线y=2x-1变为2 10.53.在 A =21作用下,直线|变为y=-2x-3,贝U直线|为110 2 24. 在 对应的线性边变换作用下,椭圆 - y 1变为1 0 2 45. 已知平面内矩形区域为 x1 i x2 j (0 w X1< 1,0 w X2< 2),若一个线性变换将该矩形变为正方形区域,则该线性变换对应的矩阵为 2 26. 将椭圆X y 1绕原点顺时针旋转45°后得到新的椭圆方程为 3 49.向量10.向量1经过2、3先逆时针旋转1 0两次变换后得到的向量为1 145°,再顺时针旋转15°得到的向量为11.。

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