3第三章流体运动学

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1、第三章流体运动学3- 1已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为x =aekt, y =be-kt, z =c，式中k是不为零的常数。试求流体质点的迹线、速度和加速度。解：（1）由题给条件知，流体质点在z=c的平面上运动，消去时间t后，得xy=ab上式表示流体质点的迹线是一双曲线族：对于某一给定的（ 线。a，b），则为一确定的双曲Ux(3)ax& I kt kae , uy .:t-Ux2 ktk ae , ay .:t=-kbe丄 uz ；:t-Uy2kty =k2be, .:t0.:taz03 2已知流体运动，由欧拉变数表示为Ux=kx, Uy = ky, Uz =0，式中数。试求流场的加

2、速度。dUx；:Ux 丄U dtjtdUy , 2 k y, dtk是不为零的常解:axayaz.:Ux.:UxxIx-Uy - ；x；ydUz 0 dt.：Ux 2uz _ = k xjz解：ax已知 Ux =yzt , Uy =zxt , Uz =0，试求 t =1Ux:认UxUx-Ux Uy x Uz x.:t：x：y；z.：Uy.：Uy.：Uy.：UyUxUyUz .t: y:z,：Uz；：Uz:Uz；：Uz-Ux - - Uy - Uz -.t:x:y：z时流体质点在（1，2，1）2yz zxt(zt)二 3m/s处的加速度。ayaz2=zx yzt(zt)二 3m/s=0Ux =1

3、 y, Uy =t。试求(1 )t =0 时，过（0,34已知平面不可压缩液体的流速分量为0）点的迹线方程；（2） t =1时，过（0, 0）点的流线方程。dx dy “ dx 一 dy解：（1）迹线的微分方程式为二 二dt, = dt, = dt, dy = Uydt= tdt,UyUxUyUx、t2积分上式得：yC1，当t=0时，y=0 , C1=0,所以2t2t2t3dx = uxdt = (1- y)dt = (1- )dt，积分上式得：x = t C226所以当 t=0 时，x=0, C2=0,xA6消去（1）、（ 2）两式中的（2）流线的微分方程式为得x二 2y - ( 2),有理

4、化后得642小2_y 2y _ x =03即菖1 y239ydx dy ?UxUy=dy , tdx = (1 - y)dy，积分上式得 t#解：例3 6流体运动如题3-6图所示ux-ky2，ykx流线方程:-dx(x2 + y2) = dy(x2+ y2)kykx2kxdx(x +y2)+ kydy(x2 + y2) = 022 d 22k(x2 + y2)?；(x2 y2)= 02积分，得 k(x2 y2), (x2 y2) =C22题3-6图圆心(0, 0),半径R*C2 。当 x=1, y=0,代入上式得 C2=1。( x2 y2)=1，为一圆，因是恒定流，不同时间为同一圆。“kytk

5、xt3 7 已知 Ux = - 22 , Uy = 22x + yx +y流线方程，(2) t =1时，通过点A (1 , 0)流线的形状, 求得的流线方程相比较，它们有什么异同。Uz=0，式中k是不为零的常数。试求：(1)(3)将求得的流线方程与习题3 6ytx = (y ) C21y2当t=1时，x=y=O, C=0，所以可得：x (y )(为非恒定流)t23 5 已知 Ux = x+1, Uy = y + t, Uz = 0，试求 t = 2 时，通过点 A ( 1, 1)的 流线，并与例3 3相比较。解：由例 3 3 可得：(x+t)(y+t) =C当t=2 , x= 1 , y= 1

6、, C=3。因此，通过点 A ( 1 , 1 )的流线为(x +2)(_y +2) =3上式不同于例3 3,即当t=0时通过A点的流线为xy= 1,说明不同时刻的流线不同。A (1 , 0)流线的形状。3 6试求例36流体运动的流线方程和流体质点通过点#解：uz=0，为平面(二维)流动。(1)流线方程2 2 2 2 虬敦将Ux、Uy代入上式，得Jdx=3_dy uxuykytkxt-(x2 + y2)dx?kxt (x2 + y2)dy?kyt2 2 2 2(x + y )kxtdx+ (x + y )kytdy = 0kt(x2 + y2)?(xdx ydy) = 0 , kt(x2 + y

7、2)-d(x2 + y2) = 02kt 2222积分得(x + y ) = C1，流线方程一般形式：(X + y )t = C2。2(2) t=1, x=1, y=0,代入上式，得 C2=1 ；流线为x2 y2=1，流线的形状为一圆。(3)因是非恒定流，不同时间为不同的圆， 如t= 2, x=1, y=0, C2=2, x2 + y2 = ( 2)238试证明下列不可压缩均质流体运动中，哪些满足连续性方程，哪些不满足连续性#方程。(1)Ux= ky,Uy= kx，Uz= 0;(2 )Ux = kx,Uy= ky,Uz= 0;( 3)Ux=2,x + yxUy= 22， Uz= 0; ( 4)

8、 Ux = ay, Uy= Uz= 0 ; ( 5)x +yUy = 2; (7) Ux = 4x, Uy = 0; ( 8) Ux = 4xy, UyUx= 4, Uy = Uz= 0; (6)匕=1,解：平面流动中,(1)0+ 0 = 0;=0。：Ux旦=0.x: y2xy22 _ 2(x+y )(6) 0 + 0= 0; ( 7) 4 + 0工0(7)、不可压缩均质流体的连续性方程为(2) k k=0; (3)竺0+ 0 = 0,(6)的流体运动满足连续性方程;上流动是不能实现的。(5)(1)(8)(8)=0 ; (4) 0+ 0= 0; (x2 y )4y+ 0M0的流体运动不满足连续

9、性方程，实际3-9已知水平圆管过流断面上的流速分布为Umax(二)2Umax为管轴处最大流速，r0为圆管半径，r为点流速u距管轴的径距。1-试求断面平均速度解：V-1 udA 二A AroUmaxmax 爲一| 02 rdr2 numax 11 r0r023- 10已知水平圆管过流断面上的流速分布为速，r0为圆管半径，y为点流速Ux距管壁的距离。解：Q 二 AUxdA = 2 ma241Ux = Umax ()7,r试求断面平均流速17(r。- y)dy0.5UmaxUmax 为管轴处最大流2 TUmaxr。1715 7ro49602max r0Q492 149V=: nU max r02 =

10、UmaxA60pr6000.817Umax。3 11设一有压管流经圆管进入圆锥形的收敛管嘴，如图所示。已知圆管直径dA =0.2m ,流量Q = 0.014m3/s; dB = 0.1m。试求经过圆管内点 A和收敛管嘴内点 B的过流断面 的平均流速va、vb。注：经过点B的过流断面面积，可近似地视为球缺或球冠表面积，为2nRh(不包括底面面积)。#解:Va =AA4Qn4 0.014n 0.22m/s 二 0.45m/s#经过点B的过流断面面积，可近似地视为球缺面积R = 0.05m。QVb :ABAb= 2 nRh，式中 h =( 0.05 0.05cos45) m =0.015m , 因此

11、m/s = 2.97 m/s2 n 0.05 0.0153 12送风管的断面面积为 50 cm X0cm ,通过a、b、c、d四个送风口向室内输送空气， 如图所示。已知送风口断面面积均为40 cmX40cm,气体平均速度均为 5m/s，试求通过送风管过流断面1 1、2 2、3 3的流量和流速。解：Q=vA=5 0.4 0.4m 3/s = 0.8m 3/s33Q12 4Q1 =3Q =3 0.8m /s= 2.4 m/s , v1-m/s = 9.6 m/s1.6m/s = 6.4 m/s0.5 0.5A10. 0.5Q2 =2Q =2 0.8m3/s =1.6m3/s , v2A23Q3 =

12、 Q = 0.8m /s ,Q30.8v3m/s 二 3.2 m/sA30.5 0.5#3- 13蒸汽管道如图所示。已知蒸汽干管前段的直径do = 50mm ,流速vo = 25m/s,烝汽密度p = 2.62kg/m3;后段的直径di = 45mm，蒸汽密度 p = 2.24kg/m3。接出的支管直径 d2 = 40mm，蒸汽密度 p = 2.30kg/m3;试求分叉后的两管末端的断面平均流速v、V为多大，才能保证该两管的质量流量相等。解： 0V0A0 - ： 1V1 A1： 2V2A2( 1 )hWA = :?2v2A2联立解(1)、(2)两式，可得#:?oVoA,Vi :2 1A2.62 25 0.0522 2.24 0.0452m/s = 18.05m/s#V2亠2”2.62 25 0.0522 2.3 0.042m/s 二 22.25m/s#353- 14空气以标准状态(温度 t0 =15 C,密度 p =1.225 kg/m，压强P0 =1.013 X0 Pa)进入压气机，流量Qv为20m3/min ;流出时温度t为60C，绝对压强p为800 xi03Pa；如果压气机出口处流速 v限制为20m/s。试求压气机的出口管径do解：由状态方程 一PL二旦，计算压气机出口处的气体密度，即0%rTTp。=1.225?(273+ 15)创800 103(273+ 60)创1.