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1、角平分线性质（2）【目标导航】掌握角平分线性质判定的应用【预习引领】1、三角形的三条 的交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。2、在证明三角形的三条角平分线交于一点时，我们应先假设三角形的 条角平分线交于一点，再证明 也经过这一点，这样就间接证明了三角形的三条角平分线交于一点。3、如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）。A、一处 B、二处 C、三处 D、四处【要点梳理】探究：如图，已知AOB，PEOA于E，PFOB于F，若PE=PF，则P点有何位置特征。分析：由于PEOA于E，PE的长表示P到OA的距离，同理由于PF 于 ，PF
2、的长表示P到 的距离。又PE=PF，即P到 和 的距离相等，联想到，角平分线上点到角的两边距离相等，因而想到连结OP，想一想，此时P点在AOB的角平分线上吗？ （填在或不在），为什么？（请写出证明过程）25例1已知，如图，AB=CD，PAB和PCD面积相等，求证：OP平分AOC。例2：如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等，且P点在BAC的角平分线上。分析：由于已知BM平分 ，从而可知P到边 、边 距离相等，因而必须作PDAB于D，PEBC于E，得线段 =线段 。同理：已知 平分 ，从而可知P到边 、边 距离相等，因此必作PFAC于F。得线段 =
3、线段 。线段 =线段 =线段 。追问：（1）P也在BAC的角平分线上吗？ 。（2）三角形的三条角平分线交于形内 点，这点到三边 相等。例3：已知如图，BE平分ABC，CE平分ACD，且交BE于点E。求证：AE平分FAC。思路分析 只需证明E点到FAC两边距离相等即可。（如果用定义证，难以凑效）。而已知条件中有角平分线BE、CE，应考虑用角平分线的性质来证E点到FAC两边的距离相等。总结 证明点在角平分线上，关键是要证明这个点到角的两边距离相等，即证明线段相等，常用的方法有：利用全等三角形、角平分线的性质和利用面积相等，但要特别注意的是点到角的两边的距离。例4：三角形三条角平分线交于一点，且这点
4、到三角形三边距离相等。方法规律 该结论的证明揭示了三线共点的证明。思路：先设其中的两线交于一点，再证明该点在第三线上。例5：某考古队为进行考古研究，寻找一座古城遗迹，根据史料记载，这座古城在古战道与河流之间且到古战道与河流距离相等，在凤凰山附近且距离雁塔有2000，考古队员很快找到了这座古城的的遗址，你能用学过的知识在图中合理标出古城遗址吗？（比例尺为1：10000如图所示）思路分析 设古战道与河流交于点O，OA表示河流，OB表示古战道，点C表示雁塔，点D表示凤凰山。（1） 以尺规作出AOB的平分线OP。（2） 以点C为圆心，2长为半径作圆探求M点。【课堂操练】1、已知ABC，在ABC内求作一
5、点P，使它到ABC三边的距离相等。2、如图，AB=AC，BEAC于E，CFAB于F，BE、CF交于点D，则（1）ABEACF。（2）BDFCDE。（3）D点在BAC的平分线上，以上结论正确的是（ ）。A 只有（1） B 只有（2）C 只有（1）（2） D 只有（1）（2）（3）26【课后巩固】1、如图，等边三角形的三条角平分线交于点I，点I到三个顶点的距离 。2、观察上图，可以发现等边三角形三条角平分线、三条高、三条中线 ，并且三条角平分线的交点到三边距离与到三顶点的距离之比是 。3、已知，如图，在四边形ABCD中，AB=AD，ABBC，ADDC，求证，点C在DAB的平分线上。4、如图，PCO
6、A于C，PDOB于D，PC=PD，Q是OP上一点，QEOA于E，QFOB于F，求证：QE=QF。5、已知，如图，B=C=90，M是BC中点，DM平分ADC，MEAD。求证：（1）MB=ME。（2）AM平分DAB。6、如图，点P在ABC的平分线上，PAAB，PCCB，D为BP上一动点，则AD=CD，ADB=CDB，为什么？7、已知BP、CP是ABC的外角平分线，则点P必在BAC的平分线上。8、如图，在ABC中，D是BC边上的中点，DEBC交BAC的平分线于点E，EFAB于F，EGAC的延长线于G，则BF=CG，为什么？9、如图，在ABC中，ABC=60，BAC、BCA的平分线相交于点O，求证：O
7、E=OF。2710、如图，四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE则B与ADC互补，为什么？11、如图，AM是ABC的边BC边上的中线，ME，MF分别平分AMB、AMC，你能判断BE+CF与EF的大小关系吗？为什么？12、如图，在ABC中，B=90，AB=7，BC=24，AC=25，ABC内存在一点P到三边距离相等，这个距离为 。13、如图，BD=CD，BF AC于F，CE AB于E，求证：D在BAC的平分线上。【课外拓展】14、如图所示，EG、FG分别是MEF，NFE的平分线，交点是G，BP、CP是MBC和NCB的平分线，交点是，P。（1）证明：A、P、G三点共线。（2）若G=68，求P的度数。15、如图所示，D是ABC一个外角平分线上一点，求证：AB+ACDB+DC。
