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1、用分离变量法解常微分方程 1 直接可分离变量的微分方程11形如 = (11)的方程，称为变量分离方程,这里，分别是的持续函数.如果(y)0，我们可将（1.)改写成= ,这样,变量就“分离”开来了.两边积分，得到 通解：= c (1.2)其中,表达该常数,分别理解为，的原函数.常数的取值必须保证（1.2)故意义.使的是方程(11)的解.例 求解方程的通解解:（1)变形且分离变量:（）两边积分： ，得可以验证也是原方程的解，若视和是平等的，则也是原方程的解我们可以用这个措施来解决中学常用的某些几何问题例2曲线上的点处的法线与轴的交点为,且线段被轴平分.求曲线的方程.分析:这是一种运用几何条件来建立
2、微分方程的例子.先建立法线的方程，用大写的表达法线上的动点,用小写的表达曲线上的点，为过点的法线的斜率.解:由题意得从而法线的方程为.又被轴平分，与轴交点的坐标为,代入上式，得整顿后,得,图1分离变量，解得,其中c为任意正数,如图1 变量可替代的微分方程通过上面的简介，我们已经懂得了什么方程是变量分离方程下面,我们再简介几种可化为变量分离方程的类型：21齐次方程形如 (13)的微分方程,称为齐次微分方程.这里是的持续函数.对方程(）做变量变换 ， (14）即，于是 (15)将（）,（5）代入(.),则原方程变为 ，整顿后，得到 . （1.）方程（1.6）是一种变量分离方程.可按前面（1.1)的
3、措施求解，然后裔回本来的变量，便得到(1.3）的解.例3 求微分方程的通解.解：原方程化为 ,即,于是，令,即，将代入该方程，得，整顿,即有，分离变量,得 ，两边积分,得，将代回来，得， ，即,其中为任意常数.另,即也是原方程的解,但此解课涉及于通解之中故,方程的通解为.22形如 （1.7)的方程，这里均为常数.此方程经变量变换可化为变量分离方程.我们分三种情形来讨论：2. 的情形.这时方程化为有通解,其中.2.2 的情形令，这时有是变量分离方程.2.2.3 的情形如果方程中不全为零，方程右端分子、分母都是的一次多项式,因此, (1.8)代表平面上两条相交直线,设交点.若令,.则(2.)化为，
4、.从而(2.1)变为 . (.9）因此，求解上述变量分离方程，最后裔回原变量即可得原方程(.）的解.如果方程(2.1)中可不必求解(2.2),直接取变换即可.上述解题的措施也合用于比方程（2.1)更一般的方程类型.例4 求解方程 (2.）解: 解方程组 , ，得.于是，令,代入方程(2.),则有 . 再令，即 ,则化为,两边积分，得，因此，代回原变量,得，即.因此，方程()的通解为，其中,为任意常数.通过上述的求解,我们发现以上的措施是非常的精确的，但是对于像例5这种形式的的方程,我们发现还可以用另一种措施凑微分进行求解.凑微分当方程满足: （2.2)时，方程会有更简便的求解措施(全微分的知识
5、的运用）.即：将代入方程中，有即展开,得 (2.3）有条件（26）可知, (.）将（28)代入(2.7)中，得.很显然，这是一种全微分方程，从而原方程的通解为，其中为任意常数.例 求解方程.解法一：该方程属于（2.22）的情形.于是,令.则因此,原方程可化为.这是一种分离变量方程整顿可得.将代入,可得即,通解为.其中c为任意常数.观测例6可以发现,方程也满足条件(2.6），于是用凑微分的措施同样可以求解.解法二：原方程变形为.整顿得因此.两边积分，得原方程的通解为=C，其中C为任意常数.以上的两种措施都是求解微分方程的常用措施,下面再简介几种比较常用的课分离变量的方程.3形如 的方程也可以经变
6、量变换化为变量分离方程，这里的均为常数.做变量变换,这时有,即是变量分离方程而当时，为其特殊形式.例7求解方程解:由于 , （2.5）可以化为.于是,令 . （2.)则 , (2.)将（2.9)代入(2.11)可以懂得，这是一种分离变量方程.即两边同步积分,得 (28）再将(2.10)代入(2.），得.因此整顿得,，其中C为任意常数. 2.4其她几种变量能分离的方程类型2.1形如 , (2.9)的方程同样可已经变量替代化为变量分离方程.将(2.1)变形为 (3.0)做变量替代 . 这时有 ， （3.1)将(21)代入(21）中，得.是变量分离方程.2.2形如 , （.）的方程是变量分离方程.做变量替代，则 , (3.3）代入原方程，得.是变量分离方程.2.4.3形如 , (.4)的方程是变量分离方程.做变量替代,则，有 ， (3.5)将(.19)代入(.18）中，得,因此，原方程同样是变量可替代方程.2.4形如 (6)(其中、满足）的方程可令，方程(2.20)化为齐次方程，事实上,由于,因此，即，再，设，可化为变量分离变量.除此之外,尚有某些一般形式，如可以通过变量替代化为变量分离方程求解;形如（其中M、N为齐次函数,次数可以不相似）也可通过变量替代化为变量分离方程求解.变量代换是求解一阶微分方程的一种重要措施,在一阶微分方程的初等解法中具有重要的作用.
