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1、矩阵大作业简介矩阵理论是数学的一个重要分支，内容十分广泛，是数学和其他学科(如数值分析、概率统计、优化理论以及电学等)的基础，在科学与工程计算方面有着广泛的应用，例如在数字图像处理中就运用到大量的矩阵知识。数字图像处理(Digital Image Processing)是通过计算机对图像进行去除噪声、增强、复原、分割、提取特征等处理的方法和技术。而对于数字 图像我们都很熟悉，我们从计算机上看到的图片，雷达图像，以及人体 MRI图像等等都是数字图像。涉及的理论知识及应用矩阵在数字图像处理中的应用：我们可以将一幅图像定义为一个二维的函数f (x, y),其中x, y表示空间坐标，在空间坐标(x,
2、y)点上的幅值f表示该点图像的强度或者灰度。对于数字图像而言，空间坐标 x、y和幅值f都是有限的、离散的，这样 的话，一幅图像就可用一个二维函数表示。对于模拟图像不利于计算机进f(0,0)一 f 一 f(1,0) f (x, y)-. f (m 1,0)行处理，所以要将模拟图像转换成数字图像，主要包括：取样和量化。取 样就是讲x, y坐标值离散化，而量化就是将幅度值离散化，这样取样和量 化的结果就是一个矩阵，可以表示为：f (0,1).f (0, n -1)f (1,1).f (1,n -1)f (m 1,1) . f (m 1,n 1) m n更一般的矩阵表达式为：- 1a(0,0)a(0,
3、1).a(0,n 1)a(1,0)a(1,1).a(1,n 口A 二) I| k、a(m 1,0) a(m 1,1). a(m 1,n 1) m n图像压缩的目的是减少图像遗留在数据中的多余信息，使之得到更高效格式存储和数据传输，而数据可以压缩的原因就在于数据中存在冗余信息。以数学的观点来看，这一过程实际上就是将二维像素阵列变换为一个在统计像素矩阵的技术，也称图像编码。图像压缩可以是有损数据压缩也可以是无 损数据压缩。对于如绘制的技术图、图表或者漫画优先使用无损压缩，这是 因为有损压缩方法，尤其是在低的位速条件下将会带来压缩失真。如医疗图 像或者用于存档的扫描图像等这些有价值的内容的压缩也尽量
4、选择无损压缩 方法。有损方法非常适合于自然的图像，例如一些应用中图像的微小损失是 可以接受的(有时是无法感知的) ，这样就可以大幅度地减小位速。(1)矩阵的奇异值 设 A ； n数，假设2.矩阵的奇异值分解理论在数字图像处理中的应用r =rank (A),九i是AAH的特征值，色是AH A的特征值，者睚实入 1 2工2 * -+-2 m 0 ；K13p12 20 Mi=Ri=lUh =0 .12. r r 1 r 2 n则特征值几与9之间的关系为=匕0 , (i=1,2 , ,r)则 =ST = 是A的正的奇异值，若 A为正规矩阵，则 A的奇异值是 A的特征向量的模长2 )矩阵的奇异值分解(S
5、VD )m n若A Wc，q二%：.之凡是A的r个正奇异值，则存在 m阶西矩阵U 和n阶西矩阵V,满足fAA二UDV H =UO其中，A=diag ( 2,3 ,-|6.)为奇异对角阵。u满足U H AAHU为对角阵，V满足H HV A AV为对角阵，U的第i列为A的对应于i奇异值的左奇异向量，V的第i列为/的对应于i奇异值的右奇异向量，它们的每一列均为单位向量，且各列之间互相正交。奇异值分解是一种基于特征向量的矩阵变换方法，是现代数值分析的最基本的方法之一3 )奇异值分解的图像性质每一个A Crmn矩阵的奇异值(61 , J%)是唯一的，它将矩阵数据的特m n征和分布很明显的算了出来。矩阵的
6、奇异值分解可以这样理解：将A Cr当做 m n一种线性变换，它将 m维空间的点映射到了 n维的空间。A Cr通过奇异值 分解，被分割成 3部分，分别为 U、和V。A为数字图像，可视为二维时频信息，可以将 A的奇异值分解公式写成_H_ 0 O H_r611VHA -UDV -UV -J Ai -乙 0i i iO O i 彳示的数字图像 A可以看成是r个秩为1的子图的 vJ相加的结果，奇异值bi为 权系数。所以 A也表示时频信息，对应的 d和vi可分别视为频率矢量和时间适 量，则数字图像A中的视频信息就被分解到一系列由和Yi构成的视频平面中。由矩阵范数理论，奇异值能与向量2-范数和矩阵F-范数相
7、联系。Af 一mni | A 2 - max()2F amn若以F-范数的平方表示图像的能量，则有矩阵的奇异值分解可得2hr 0 111HliA 0 1 , H、 r 2IA _tr(A A) _tr (v U U U V ) F -一10 0 J 0 0 一： i综上可知，数字图像 A的纹理和几何意义上的信息大都集中在U、V H中，而4中的奇异值通常代表了图像的能量信息。性质1:矩阵的奇异值代表了图像的能量信息，因此具有很高的稳定性。 m n设A =C r n, B = A +。，5是矩阵A 一个扰动矩阵， A和B的非零奇异值分别记 为：212如训I之61r和。212。22之川2 r,且r，
8、k A ,6是5中最大的一个， 则有2i I -Ia -BI2 =|创2=通过上面阐述可知，图像在被小的扰动所干扰的时候扰动矩阵的最大奇异值一般情况下都大于图像矩阵奇异值的变换，因此图像奇异值的稳定性很强；性质2:矩阵的奇异值具有比例不变性设A三Crm :矩阵A的奇异值为(,JIM) , r = rank (A),矩阵kA的奇异 值为 % (i=1,2 , ,r),则有 Ik ( 51 户2 JM)=(0t/2 ”，)。性质3:矩阵的奇异值具有旋转不变性设A eCrm n ,矩阵A的奇异值为(61,62 , IN6r) , r =rank (A)。如果U r是酉矩阵， 则矩阵U r A的奇异值
9、与矩阵 A的奇异值相同。性质 4:设 A e Cr n , r = rank (A)之 s,若 s = diag (3 123 外),则 sHA -, rank (A ) - rank( ： ) - ssi i is s所以可得 IIa 一As! =min a - B B。Cm n)=汽+ %1+卅 + 6m n由上式可以得出，在F-范数议意义下，As是在空间 CS中的将秩最佳逼近。那么，可以根据需要保留s个大于某个阈值q而舍克其余(r -s)个小于阈值的 号且保证两幅图像在某种意义下的近似，而这就是奇异值特征矢量的降维和数据压缩的理论基础。三.结论具有很综上可知，通过矩阵的奇异值分解来进行图像压缩的方法是有效的, 好的实用价值，除此之外，矩阵知识在图像加密、图像变换中都有大量的应用。事实上，在现实生活中矩阵知识都有大量涉及到， 例如在工业控制系统中， 你要控 制系统的输出状态，不同的输入对应不同的输出， 就要用到矩阵方程，还有土地 测量等等，都离不开矩阵知识，总之矩阵知识在生活中方方面面都很重要。Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考!
