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1、专题2.5 数轴与相反数（知识讲解）【学习目标】1理解数轴的概念及三要素； 2理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小； 3会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；4. 掌握多重符号的化简.【要点梳理】要点一、数轴1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点诠释：（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位有km、m、dm、cm等 （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动2. 数轴与有
2、理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如.要点诠释：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.要点二、相反数1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号
3、即可.2.性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.（2）互为相反数的两数和为0.要点三、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-(-4)=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-+-(-4)=-4 .要点诠释：（1）在一个数的前面添上一个“”，仍然与原数相同，如55，（5）5.（2）在一个数的前面添上一个“”，就成为原数的相反数.如（3）就是3的相反数，因此，（3）3.【典型例题】类型一、数轴的概念1如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是 ( ) A(1)(2)(3) B(2)(3)
4、(4) C只有(2) D(1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】对数轴的三要素掌握不清.（1）中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致；（3）中负有理数的标记有错误；（4）图中漏画了表示方向的箭头.【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可类型二、相反数的概念 2 的相反数是（）A5 B C D.-5【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.【答案】B【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变.举一反三： 【变式1】填空：(1) (2.
5、5)的相反数是 ；(2) 是-100的相反数；(3) 是 的相反数；(4) 的相反数是-1.1；(5)8.2和 互为相反数.（6）a和 互为相反数 .（7）_的相反数比它本身大， _的相反数等于它本身【答案】（1）2.5；（2）100；（3）；（4）1.1；（5）-8.2；（6）-a；（7）负数， 0 . 【变式2】下列说法中正确的有( )3和3互为相反数；符号不同的两个数互为相反数；互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；的相反数是3.14；一个数和它的相反数不可能相等A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个或更多【答案】B3 如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点
6、是（）A点A B点B C点C D点D【思路点拨】考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数根据定义，结合数轴进行分析 【答案】A【解析】解：表示2的相反数的点，到原点的距离与2这点到原点的距离相等，并且与2分别位于原点的左右两侧，在A，B，C，D这四个点中满足以上条件的是A故选A【总结升华】本题考查了互为相反数的两个数在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两侧，并且到原点的距离相等类型三、多重符号的化简 4.化简下列各数中的符号（1） （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4）（5）-(+1) （6）-(-a)【答案】 (1) （2）-(+5)-5 （3）-(-0.25)0.25
7、（4） （5）-(+1)-(-1)1 (6)-(-a)a【解析】 (1) 表示的相反数，而的相反数是，所以 ；（2）-(+5)表示+5的相反数，即-5， 所以-(+5)=-5；（3）-(-0.25)表示-0.25的相反数，而-0.25的相反数是0.25，所以-(-0.25)0.25；（4）负数前面的“+”号可以省略，所以；（5）先看中括号内-(+1)表示1的相反数，即-1，因此-(+1)-(-1)而-(-1)表示-1的相反数，即1，所以-(+1)-(-1)=1；(6)-(-a)表示-a的相反数，即a所以-(-a)= a【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单即数一下数字前面有多少
8、个负号若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负类型四、利用数轴比较大小5在数轴上表示2.5，0，-1，-2.5，3有理数，并用“”把它连接起来【答案与解析】如图所示，点A、B、C、D、E、F、G分别表示有理数2.5，0，-1，-2.5，3 由上图可得：【总结升华】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小举一反三：【变式1】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（）Aba0 Bb0 Cab Dab0【答案】D 【变式2】填空：大于且小于的整数有_个； 比小的非负整数是_【答案】11；0，1，2，
9、3类型五、数轴与相反数的综合应用（数形结合的应用）6已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a，b(ab)并且A、B两点间的距离是，求a、b两数【思路点拨】因为a、b两数互为相反数(ab)，所以表示a，b的两点A、B离原点的距离相等，而A、B两点间的距离是，所以A、B两点到原点的距离就是【答案与解析】解：由题意A、B两点到原点的距离都是：而ab，所以，【总结升华】(1)理解相反数的几何意义 (2)从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数关于原点对称 举一反三：【变式】填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是_；（2）从数轴上观察，-3与3之间的整数有_个【答案】（1）5， 提示：要注意两种情况，原点左右各一个点；（2）5，提示：画出数轴，容易看出-3和3之间的整数是-2，-1，0，1，2共5个
