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1、第一章 随机事件及其概率1.1 随机事件一、随机试验对随机现象进行观察或实验，称为随机试验，用E表示例1、随机试验的例子（1） 掷一颗骰子，观察出现的点数（2） 某人每次买一注彩票，直到中一等奖，观察购买次数（3） 观察某产品的使用寿命二、样本空间把试验的每一个可能的结果称为一个基本事件（样本点）。全体基本事件的集合称为试验的样本空间，用表示例2、写出例1中各试验的样本空间（1） 1,2,3,4,5,6（2） 1,2,3,.（3） t0=t+三、随机事件在每次试验中可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。用A、B、C或A1、A2表示。必然事件每次试验一定发生用表示不可能事件每次试验一定不发生
2、用表示例3写出例1中各试验相关的随机事件（1） A“至少掷出4点以上”4,5,6（2） A“最多需要3次”1,2,3（3） A“寿命在1000至2000小时之间” t1000=tn）个盒子中去，求下列事件的概率（1） 每个盒子有1只球（2） 指定的n个盒子中各有1只球解：（1） P(A)= =（2） P(B)=例2、一宿舍中有6个同学，求下列事件的概率（1）6人生日都不在十月份（2）6人中恰有4个人生日在同一月份解：（1）P（A）（2）P（B）二、概率的统计意义设在n次的测验中，事件A发生r次，则当n充分大时，A发生的频率r/n会稳定在一个数P（0=P=1）附近，即P(A)=r/n三、概率的公
3、理化定义见书上四、概率的性质1、P()=0 P()=1 0=P(A)0，在A发生的情况下，B发生的概率为P(B|A)=,称为A发生的条件下，B发生的条件概率例1、 设某种动物活20岁以上的概率为0.8,活25岁的概率为0.4,现有一个这种动物已有20岁，问它能活到25岁以上的概率是多少？解：A活20年以上 B活25年以上，P（BA）例2、一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中任取一件，结果不是三等品，求取得的是一等品的概率解：Ai取到的是i等品（i=1,2,3）例3、为防止意外，在矿内设有甲乙两个报警系统，已知发生矿难时，甲乙的有效率分别是0.92和0.93,在甲失灵的情况
4、下，乙有效的概率是0.85,求（1）发生意外时，至少一个系统有效的概率（2）乙失灵的情况下，甲有效的概率解：A甲有效，B乙有效P（AUB）P（A）+P（B）-P（AB）（无法直接计算）由,(1)(2)2、乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A),(P(A)0)推广:例4、某厂生产的产品中，每批都有2/3的合格品，验收时采取有放回抽取，如果接连抽到的两件都是合格品，则接收该批产品，否则拒收。求每批产品被拒收的概率。解:Ai抽取的第i件是合格品（i=1,2）A被拒收例5、某种光学制品第一次落地会打破的概率是1/3，若第一次落地未打破，第二次落地会打破的概率是3/8，若前两次落地未打破，第三次落地会
5、打破的概率是9/10，求它落地三次会打破的概率。解：Ai第i次落地会打破（i=1,2,3）A三次落地会打破解法一：解法二：（对偶律）二、事件的独立性1、 两个事件的独立性设A、B为两个事件，如果P（BA）P（B），P（AB）P（A），称A、B相互独立定理1、A与B独立P（AB）P（A）P（B）推论：例6、由甲乙两人各自独立地破译一份密码，他们能破译的概率分别是0.6和0.7,求密码能被破译的概率。解：A甲能译出 B乙能译出 则A与B独立2、多个事件的独立性设A1、A2An为随机事件，如果其中任一事件发生的概率与其它事件是否发生无关，称A1、A2An相互独立。定理2、A1、A2、An相互独立对其
6、中任意m个Ai1,Ai2,Aim(2=m=4）Y某产品的寿命，则“寿命在1000-2000小时之间”表示成（1000=Y=2000）二、分布函数设X是一个，则称注2、利用F（x）可以方便地计算各种事件的概率例如：例如：注3、F（x）具有如下性质（1） 单调不减性：（2） 有界性：（3） 右连续性：例1、一个靶子是半径为R的圆，设击中靶上任一同心圆内的点的概率与该圆面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离。求X的分布函数F（x）。解：依题意，X的取值0,R，当xR时，F（x）=1；。又由于2.2 离散型随机变量的概率分布取值为有限个或可列无穷多个的离散型设X的取值为x1,x2,x
7、3,称Xx1,x2,x3.PP1 P2 P3注：1、2、例1：某人有4把同样钥匙，其中只有一把能打开门，每次取一把，如果打不开则除去另换一把，求把门打开所需开锁次数X的分布律和分布函数。解：X的取值1,2,3,4Ai第i次能打开门（i=1,2,3,4）P（X1）P（A1）1/4因而P(X=4)=1/4分布律为X1 2 3 4P1/4 1/4 1/4 1/4分布函数为例2、自动生产线在生产过程中一旦出现废品就立即调整。每次调整后，生产出的每个产品是废品的概率为P，设两次调整间生产的合格品数为X，求（1）X的概率分布；（2）两次调整之间生产出不少于1000个合格品的概率。解：X的所有可能取值0,1
8、,2,记Ai两次调整间生产的第i个产品是合格品(2)2.3 二项分布分布律：其中0P1,记成XB（n，P）注：在n次重复独立试验中，每次试验事件A发生概率都是P，则A发生的总次数XB（n,P）。例1、某车间有20部同型号的机床，每部的开工率都是0.8,并设各机床是否开动彼此独立，如果每部机床开动时消耗电能15千瓦，求此车间耗电不少于270千瓦的概率。解：设X同时开工的机床数，则XB（20,0.8）,X270/15=18例2、某董事会由9个人组成，在对某议案进行表决时，每人作出正确决策的概率都是0.7,如果按大多数人意见作决策，求做出正确决策的概率。解：X做出正确决策的人数，则X（9,0.7）例3、设每次买彩票中奖率为0.2,问必须进行多少次购买，才能使中奖的概率不少于0.99？解：设购买次数为n，中奖次数为X，则XB（n,0.2）2.4 泊松分布一、泊松分布（Poisson）分布分布律：，记成XP（）注1、大量随机现象服从泊松分布（流量、通话量等） 2、相关的计算可查书本P355附表2例1、设一昆虫产卵数XP（），而每个虫卵是否发育为幼虫相互独立，且概率都是P，试求一只昆虫所生幼虫数Y的概率
