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1、常见的几何模型一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角.这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类.1.绕点型手拉手模型1自旋转：例题讲解：1. 如图所示,P是等边三角形ABC内的一个点,PA=2,PB=,PC=4,求ABC的边长.2. 如图,O是等边三角形ABC内一点,已知：AOB=115,BOC=125,则以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角度数是多少？3.如图,P是正方形ABCD内一点,且满足PA：PD：PC=1：2：3,则APD=. 4.如图2-1：P是正方形ABCD内一点,点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1,PB=2,PC=3.求此正方形AB
2、CD面积.2共旋转典型的手拉手模型模型变形：例题讲解： 1. 已知ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点点D不与B,C重合,以AD为边作菱形ADEF按A,D,E,F逆时针排列,使DAF=60,连接CF.如图1,当点D在边BC上时,求证：BD=CFAC=CF+CD.如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立？若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由； 如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.2.13中考在ABC中,AB=AC,BAC=,将线段BC绕点B逆时针旋转60得
3、到线段BD.1如图1,直接写出ABD的大小用含的式子表示；2如图2,BCE=150,ABE=60,判断ABE的形状并加以证明；3在2的条件下,连结DE,若DEC=45,求的值.2.半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等.例题：1.在等腰直角ABCD的斜边上取两点M,N,使得,记AM=m,MN=x,BN=n,求证以m,x,n为边长的三角形为直角三角形.2.如图,正方形ABCD的边长为1,AB,AD上各存在一点P、Q,若APQ的周长为2,求的度数.3.、分别是正方形的边、上的点,且,为垂足,求证：4. 已知,正方形A
4、BCD中,MAN=45,MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC或它们的延长线于点M、N,AHMN于点H1如图,当MAN点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系：AH=AB；2如图,当MAN绕点A旋转到BMDN时,1中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由,如果成立请证明；3如图,已知MAN=45,AHMN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长可利用2得到的结论5.已知：正方形ABCD中,MAN=45,MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC于点M,N当MAN绕点A旋转到BM=DN时,易证BM+DN=MN当MAN绕点A旋转到BMDN时,线段B
5、M,DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明当MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想6. 边长为2的正方形的两顶点、分别在正方形EFGH的两边、上,现将正方形绕点顺时针旋转,当点第一次落在上时停止旋转,旋转过程中,边交于点,边交于点.1求边在旋转过程中所扫过的面积；2旋转过程中,当和平行时,求正方形旋转的度数；3如图3,设的周长为,在旋转正方形的过程中,值是否有变化？请证明你的结论.7. 已知：如图,正方形ABCD中,AC,BD为对角线,将BAC绕顶点A逆时针旋转045,旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q,交BC,CD于点
6、E、点F,连接EF,EQ1在BAC的旋转过程中,AEQ的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变,写出它的变化范围直接在答题卡上写出结果,不必证明；2探究APQ与AEF的面积的数量关系,写出结论并加以证明8已知在中,于,点在直线上,点在线段上,是的中点,直线与直线交于点.1如图1,若点在线段上,请分别写出线段和之间的位置关系和数量关系：_,_；2在1的条件下,当点在线段上,且时,求证：；3当点在线段的延长线上时,在线段上是否存在点,使得若存在,请直接写出的长度；若不存在,请说明理由图1备用图9.1如图1,点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,EAF=45,连接EF,则EF、BE、F
7、D之间的数量关系是：EF=BE+FD连结BD,交AE、AF于点M、N,且MN、BM、DN满足,请证明这个等量关系；2在ABC中, AB=AC,点D、E分别为BC边上的两点如图2,当BAC=60,DAE=30时,BD、DE、EC应满足的等量关系是如图3,当BAC=,0,DAE=时,BD、DE、EC应满足的等量关系是_参考：注意： 在正方形ABCD中,AB=AD,BAD=90,ABM=ADN=45把ABM绕点A逆时针旋转90得到连结则,EAF=45,BAM+DAN=45, DAM+DAF=45, =MN在中,2；3.空翻模型例题：1.如图,点为正三角形的边所在直线上的任意一点,作,射线与外角的平分
8、线交于点,与有怎样的数量关系?【解析】 猜测.过点作交于点,又,而,2.如图,点为正方形的边上任意一点,且与外角的平分线交于点,与有怎样的数量关系？【解析】 猜测.在上截取,3.探究发现如图,是等边三角形,EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F当点E是BC的中点时,有AE=EF成立；数学思考某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时,运用从特殊到一般的数学思想,通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上B,C除外任意一点时,结论AE=EF仍然成立假如你是该兴趣小组中的一员,请你从点E是线段BC上的任意一点；点是线段BC延长线上的任意一点； 点是线段BC反向延长线上的任意一点三种情况中,任选一
9、种情况,在备用图1中画出图形,并进行证明拓展应用当点E在线段BC的延长线上时,若CE = BC,在备用图2中画出图形,并运用上述结论求出的值4.弦图模型外弦图 内弦图 总统图例题：1.两个全等的30,60三角板ADE,BAC,如右下图所示摆放,E、A、C在一条直线上,连接BD,取BD的 中点M,连接ME,MC1求证：EDMCAM；2求证：EMC为等腰直角三角形2.如图ABC中,已知A=90,AB=AC,D为AC中点,AEBD于E,延长AE交BC于F,求证：ADB=CDF若D,M为AC上的三等分点,如图2,连BD,过A作AEBD于点E,交BC于点F,连MF,判断ADB与CMF的大小关系并证明3.
10、已知ABC=90,D是直线AB上的点,AD=BC1如图1,过点A作AFAB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断CDF的形状并证明；2如图2,E是直线BC上的一点,直线AE、CD相交于点P,且APD=45,求证BD=CE图2图1二、对称全等模型下图依次是450、300、22.50、150与有一个角是300直角三角形的对称翻折,翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等.例题：1.如图1,在ABC中,已知BAC=45,ADBC于D,BD=2,DC=3,求AD的长小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换如图1她分别以AB、AC为对称轴,画出ABD、ACD的轴对称图形,D点的
11、对称点为E、F,延长EB、FC相交于G点,得到四边形AEGF是正方形设AD=x,利用勾股定理,建立关于x的方程模型,求出x的值参考小萍的思路,探究并解答新问题：如图2,在ABC中,BAC=30,ADBC于D,AD=4请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF,求BGC的周长画图所用字母与图1中的字母对应2. 问题：已知ABC中,BAC=2ACB,点D是ABC内一点,且AD=CD,BD=BA.探究DBC与ABC度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明.1当BAC=90时,依问题中的条件补全右图.观察图形,AB与AC的数量关系为_；当推出DAC=15时,可进一步推出DBC的度数为_；可得到DBC与ABC度数的比值为_.A B C 2当BAC90时,请你画出图形,研究DBC与ABC度数的比值是否与1中的结论相同,写出你的猜想并加以证明.16 / 16
