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1、2022年高二数学上期期中试题 理本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分150分，考试时间120分钟考试结束后，只将答题卷交回第I卷注意事项：1答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卷上2每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的1直线的倾斜角是（ ）A B C D2经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是A B C D3圆和圆的公切线有A条 B条 C条 D条4已知点在不等式组表示
2、的平面区域内运动，则的最大值是A B C D5已知，表示不同的平面，为直线，下列命题中为真命题的是A BC D6若点在两条平行直线与之间，则整数的值为A B C D7过点作圆的两切线，设两切点为、，圆心为，则过、的圆方程是A BC D8二面角为，、是棱上的两点，、分别在半平面、内，且，则的长为A B C D 9已知，为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为A B C D10在直角中，为中点（左图）将沿折起，使得（右图），则二面角的余弦值为A B C D（第10题图）第II卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分11已知向量，若则 （第13题图）12空间四边形的对角线
3、，、分别为、的中点，则异面直线和所成的角等于 13一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为 14已知垂直于边长为的正六边形所在的平面，且，则到直线的距离是 15直线曲线有两个不同的交点，平面区域的面积为若，则实数的取值范围为 三、解答题：本大题共6小题，合计75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题满分12分）直线与坐标轴的交点是圆一条直径的两端点（I）求圆的方程；（II）圆的弦长度为且过点，求弦所在直线的方程（第17题图）17（本小题满分12分）如图，正方体中，是的中点（I）求证：平面；（II）求异面直线与所成的角18（本小题满分12分）在中，角，所对的边分别是，已知
4、（I）求角的大小；（II）若的面积，求的值19（本小题满分12分）（第19题图）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面相互垂直，（I）求证：；（II）求直线与平面所成的角的正弦值；（III）线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由20（本小题满分13分）如图，在平行四边形中，为中点（左图），现将梯形沿着折起到直线与平面所成角为（右图）（I）求证：平面；（II）求二面角的平面角的正切值（第20题图）21（本小题满分14分）点到的距离是点到的距离的倍（I）求点的轨迹方程；（II）点与点关于点对称，点，求的最大值和最小值（III）若过的直线从左向右依次交第（II）问中的轨迹
5、于不同两点，判断的取值范围并证明高xx届xx学年度上期期中考试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：1C 2B 3C 4D 5D 6B 7A 8C 9B 10A二、填空题：11 12 13 14 15三、解答题：16解：（I）直线与两坐标轴的交点分别为，（2分）所以线段的中点为，（4分）故所求圆的方程为（6分）（II）设直线到原点距离为，则（8分）若直线斜率不存在，不符合题意若直线斜率存在，设直线方程为，则，解得或（11分）所以直线的方程为或（12分）17解：（I）证明：连结交于点，连结因为，分别是与的中点，所以（3分）又因为在平面内，不在平面内，所以平面（6分）（II）连结，由于且四，所
6、以边形为平行四边形，异面直线与所成的角为或其补角（9分）而为正三角形，所以异面直线与所成的角为（12分）18解：（I）由，得（2分）即，解得或（舍去）（4分）因为，所以（6分）（II）由，得又，知（8分）由余弦定理得，故（10分）从而由正弦定理得（12分）19解：（I）取的中点，连结，因为，所以因为四边形为直角梯形，所以四边形为正方形，所以因为，所以平面，所以（4分）（II）因为平面平面，且，所以平面，所以由，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系因为是等腰直角三角形，所以设，则，所以，平面的一个法向量为设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成的角的正弦值为（8分）（III）存在点，且时，
7、有平面（9分）证明如下：由，所以，设平面的法向量为，则有，所以取，得因为且平面，所以平面即点满足时，有平面（12分）20解：（I）在平行四边形中，为中点，得，所以（2分）又因为直线与平面所成角为，所以直线与平面所成角为，所以到平面的距离为所以平面（6分）（II）由（I）知，所以平面（8分）过点作，垂足为，则，所以为所求二面角的平面角（11分）在直角中，所以所求二面角的正切值为（13分）21解：（I）设点，由题意可得，即化简可得（4分）（II）设，由题可得， 代入上式消去可得，即的轨迹为，即（6分）令所以，所以因此的最大值为，最小值为（9分）（注：用参数方程计算的参考给分）（III）的取值范围是（10分）证明：设，且因为，所以，且（11分）设过的直线方程为（一定存在），与的轨迹方程联立，消去得，解得而，因此，当且仅当时等号成立所以（），解得（14分）（注：用平面几何方法得出结论的参考给分）
