空间直角坐标系坐标转换方法

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1、坐标转换方法 空间直角坐标系如果其原点不动，绕着某一个轴旋转而构成的新的坐标系 这个过程就叫做坐标旋转。在旧坐标系中的坐标与在旋转后新坐标系中的坐标有 一定的转换关系，这种转换关系可以用转换矩阵来表示。如图5.7,直角坐标系XYZ, P点的坐标为(x, y, z),其相应的在XY平面， XZ 平面，YZ 平面分别为 M (x, y,0), Q (x,0, z) 和 N (0, y, z)。AMg,仍AWaw)图 5.7 直角坐标系 XYZ设9表示第j轴的旋转角度，R j (9)表示绕第j轴的旋转，其正方向是沿 坐标轴向原点看去的逆时针方向。很明显当 j 轴为旋转轴时，它对应的坐标中的 j分量是

2、不变的。由于直角坐标系是对称的，下面我们以绕Z轴旋转为例推导其 旋转变换矩阵，其它两个轴推导和它是一样的。设图5.7的坐标绕Z轴逆时针旋转e角度，新坐标为X YZ，如图5.8所示：如护0) |(乳皿)图 5.8 坐标绕 Z 轴逆时针旋转 e 角度由于坐标中的z分量不变，我们可以简化地在XY平面进行分分析，如图5.9 所示：eMX1爪丫坨只0）图5.9坐标绕Z轴逆时针旋转0角度的XY平面示意图点MX和点MX分别是M点在X轴和X轴的投影。如图5.9(x = OM = OM cosZMOM = OM cos(q -0)2XXI y = MM = OM sin ZMOM = OM sin0)XXf x

3、 = OM = OM cos ZMOM = OM cos Q2XXI y = MM =OMsinZMOM =OMsinQX X 把(5-1)式按照三角函数展开得：x = OM cosQ cos0 + OM sin Q sin 02 y = OM sin Q cos0 + OM cosQ sin0把(5-2)式代入(5-3)式得：5-1)5-2)5-3)x = x cos0 + y sin 0 y = 一 x sin 0 + y cos0坐标中的z分量不变，即z = z这样整个三维坐标变换就可以写成（用新坐标表示旧坐标）x = x cos 0 + y sin 0 y = 一x sin 0 + y cos 0 z = Z5-5)把式（5-5）用一个坐标旋转变换矩阵 RZ（0） 表示可以写成：xxy二 R (0)y，zZz5-6)RZ(0 2一 sin 00cos005-7)cos 0 sin 0坐标系X YZ是坐标系XYZ绕Z轴逆时针旋转0角度而来，从另一个角 度来看，也可以说坐标系XYZ是坐标系X YZ绕Z轴逆时针旋转-0角度而来, 所以根据（5-6）式有：xxy y=R (0)yn R -1(0)二 R (一0)Zzzfzz5-8)