《2020秋新人教版高中数学必修二第七章复数复习课题型课知识框架思维导图》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020秋新人教版高中数学必修二第七章复数复习课题型课知识框架思维导图（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、𝑏 = 𝑑第七章复数 复习课要点训练一 复数的概念1.代数形式为 z=a+bi(a,bR),其中实部为 a,虚部为 b. 2.共轭复数为𝑧 =a-bi(a,bR).3.复数的分类整数有理数 实数(𝑏 = 0) 分数a+bi无理数(无限不循环小数)纯虚数(𝑎 = 0)虚数(𝑏 0) 非纯虚数(𝑎 0)若 z=a+bi(a,bR)是实数,则 z 与𝑧 的关系为 z=𝑧 . 若 z=a+bi(a,bR)是纯虚数,则 z 与𝑧 的关系为 z+&
2、#119911; =0. 4.复数相等的充要条件𝑎 = 𝑐,a+bi=c+di (a,b,c,dR).2 2 1010 10(3i )10(3i )2 2 3 213 211. 若复数 z=1+i(i 为虚数单位),𝑧 是 z 的共轭复数,则 z2 部为( )A.0 B.-1 C.1 D.-2+𝑧 的虚解析:因为 z=1+i,所以𝑧 =1-i,所以 z2+𝑧 =(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0.故选 A.答案:A2.设 i 是虚数单位,若复数 a- (aR )是纯虚数,则 a 的值为
3、3 i( )A.-3 B.-1 C.1 D.3解析:a- =a- 3 i (3 i)( 3i )所以 a=3.答案:D=a- =(a-3)-i,由纯虚数的定义,知 a-3=0, 103.复数 z=log (x3为虚数?2-3x-3)+ilog (x-3),当 x 为什么实数时,(1)zR?(2)z2解:(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为 0,𝑥23𝑥 3 0,所以log (𝑥 3) = 0,𝑥 3 0,解得 x=4,所以当 x=4 时,zR.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为 0,𝑥23w
4、909; 3 0,所以log (𝑥 3) 0,𝑥 3 0,解得x ,且2x4.所以当 x ,且 2x4 时,z 为虚数.𝑧2 = + i(z 0).1 2 1 22 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 22 𝑎 +𝑏𝑎 +𝑏𝑎 +𝑏2 2 22 2𝑧1 1 21 2 2 2 2 50 102 要点训练二 复数的代数运算 1.复数的模复数 z=a+bi(a,bR)的模|z|=𝑎2 + 𝑏 2,且 z&#
5、119911; =|z|2=a2+b2.2.复数的四则运算若两个复数 z =a +b i,z =a +b i(a ,b ,a ,b R),则1 1 1 2 2 2 1 1 2 2(1)加法:z +z =(a +a )+(b +b )i;1 2 1 2 1 2(2)减法:z -z =(a -a )+(b -b )i;1 2 1 2 1 2(3)乘法:z z =(a a -b b )+(a b +a b )i;1 2 1 2 1 2 1 2 2 1(4)除法: 1 =𝑧(𝑎𝑎 +𝑏 𝑏 )+(𝑎
6、19887; 𝑎 𝑏 )i 𝑎 𝑎 +𝑏 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21.在复平面内,设 z=1+i(i 是虚数单位),则复数 +z𝑧( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2对应的点位于解析: +z2= +(1+i)𝑧 1+i2= +2i=(1-i)+2i=1+i,所以复数 +z 1+i 𝑧2对应的点为(1,1),位于第一象限.答案:A2
7、.已知 z ,z 为复数,(3+i)z 为实数,z = ,且|z |=52,求 z .2+i解:由已知,得 z =z (2+i),1 2所以(3+i)z =z (2+i)(3+i)=z (5+5i)R.1 2 2因为|z |=52,所以|z (5+5i)|=50,2所以 z (5+5i)=50,2所以 z = = =(5-5i).5+5i 1+i𝑧 5i𝑧𝑧 5i 𝑎 2i 2𝑎2𝑧 13i) 42i𝑧𝑎2i1 i3.已知 z 是复数,z-3i 为实数,2 i为纯虚数
8、(i 为虚数单位).(1)求复数 z;(2)求 的模.1 i解:(1)设 z=a+bi(a,bR),所以 z-3i=a+(b-3)i 为实数,可得 b=3, 所以 z=a+3i.因为 = =2 i 2 i5(𝑎 4)i为纯虚数,所以 2a+2=0, 所以 a=-1, 所以 z=-1+3i.(2) =1 i 1 i=( 13i )(1i (1 i)( 1i )= =-2+i,2所以| |=|-2+i|= 1 i( 2)212=5.要点训练三 与共轭复数有关问题的求解方法1.若复数 z 的代数形式已知,则根据共轭复数的定义可以先写出𝑧, 再进行复数的四则运算.必要时
9、,需通过复数的运算先确定出复数 z 的 代数形式,再根据共轭复数的定义求𝑧.2.共轭复数应用的另一种常见题型:已知关于 z 和𝑧的方程,而复 数 z 的代数形式未知,求 z.解此类题的常规思路为设 z=a+bi(a,bR), 则𝑧=a-bi,代入所给方程,利用复数相等的充要条件,转化为求解方程 (组).1.已知复数 z =(-1+i)(1+bi),z =1 2轭复数,求 a,b 的值.解:z =(-1+i)(1+bi)1=-1-bi+i-b,其中 a,bR,且 z 与 z 互为共1 2𝑎2i2 + i.2 2 =(-b-1)+(1
10、-b)i, z =1 i=(𝑎2i )(1i ) (1 i)( 1i )𝑎𝑎i2i 22𝑎 2 𝑎22 2因为 z 和 z 互为共轭复数, 1 2𝑎 2所以𝑎22= 𝑏 1, = ( 1 𝑏),𝑎 = 2,解得𝑏 = 1.2.已知 zC,虚部大于 0,且|z|2+(z+𝑧 )i=5+2i. (1)求 z;(2)若 mR,=zi+m,求证:|1.(1)解:设 z=a+bi,a,bR,且 b0,所以w
11、911; =a-bi.由已知,得 a2+b2+2ai=5+2i,𝑎2 𝑏 2 = 5,所以2𝑎 = 2,𝑎 = 1,解得𝑏 = 2.所以 z=1+2i.(2)证明:由(1),得 =(1+2i)i+m=(m-2)+i,则|=(𝑚 2)11,当且仅当 m=2 时,等号成立,所以|1. 要点训练四 数形结合思想 1 21 2 1 21 2𝑧= = = 1.任何一个复数 z=a+bi(a,bR ),在复平面内都有唯一的一个点 Z(a,b)和它对应,也与从原点出发的向量𝑂
12、19885; 一一对应.2.复数加法的几何意义若复数 z ,z 对应的向量𝑂𝑍 ,𝑂𝑍 不共线,则复数 z +z 是以1 2 1 2𝑂𝑍,𝑂𝑍为两邻边的平行四边形的对角线𝑂𝑍所对应的复数.3.复数减法的几何意义若复数 z ,z 对应的向量𝑂𝑍 ,𝑂𝑍 不共线,则复数 z -z 是连接向量 1 2 1 2𝑂𝑍,𝑂𝑍
13、;的终点,并指向Z 的向量所对应的复数.11.如图所示,若 i 为虚数单位,复平面内点 Z 表示复数 z,则表示复数1i的点是 ( )A.E B.F C.G D. H 解析:因为点 Z(3,1)对应的复数为 z,所以 z=3+i,所以𝑧 3i1i 1i(3i )(1 i) 4 2i (1i )(1 i) 2=2-i,该复数对应的点的坐标是(2,-1),即点 H.答案:D2.已知复数 z =2+3i,z =a+bi,z =1-4i,它们在复平面内所对应的点1 2 3分别为 A,B,C.若𝑂𝐶 =2𝑂𝐴 +𝑂𝐵 ,则 a=-3,b=-10.解析:因为𝑂𝐶 =2𝑂𝐴+𝑂𝐵 ,所以 1-4i=2(2+3i)+(a+bi)=(a+4)+(b+6)i,1 = 𝑎 4,即4 = 𝑏 6,𝑎 = 3,所以𝑏 = 10.
