第十章函数项级数

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1、.第十章 函数项级数 1 函数项级数的一致收敛性(1)一、本次课主要内容点态收敛，函数项级数收敛的一般问题。二、教学目的与要求使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数，掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。三、教学重点难点函数列一致收敛的概念、性质四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。五、作业与习题布置P68 1（5）（7）精品.一 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列 ，介绍概念：收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念. 1.逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ ”定义. 例1 对定义在 内的等比函数

2、列 , 用“ ”定义验证其收敛域为 , 且 例2 .用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: . （1） . . （2） . （3）设 为区间 上的全体有理数所成数列. 令 , . （4） . , . （5） 有 , , . （ 注意 .） 二. 函数列的一致收敛性: 精品.问题: 若在数集D上 , . 试问: 通项 的解析性质是否必遗传给极限函数 ? 答案是否定的. 上述例1、例3说明连续性未能遗传,而例3说明可积性未能遗传. 例3说明虽然可积性得到遗传, 但 . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表

3、达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义 ( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列 在数集D上一致收敛, , . ( 介绍另一种形式 .) 证 ( 利用式 ) 易见逐点收敛. 设 ,有 . 令 , 对 D成立, 即 , ， D. 推论1 在D上 , ， . 推论2 设在数集D上 , . 若存在数列 D , 使 , 则函数列 在数集D上非一致收敛 . 应用系2 判断函

4、数列 在数集D上非一致收敛时, 常选 为函数 在数集D上的最值点. 验证函数一致收敛性: 例4 . 证明函数列 在R内一致收敛. 精品.例5 . 证明在R内 , 但不一致收敛. 证 显然有 , 在点 处取得极大值 , . 由系2 , 不一致收敛. 例6 . 证明在 内 , . 证 易见 而 在 内成立. 由系1 , 例7 对定义在区间 上的函数列 证明: , 但在 上不一致收敛. P3839 例3, 参图13-4. 证 时, 只要 , 就有 . 因此, 在 上有 . , .于是, 在 上有 . 但由于 , , 因此 , 该函数列在 上不一致收敛. 例8 . 考查函数列 在下列区间上的一致收敛性

5、: ; . 例9 考查级数 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 . 该例的结果说明什么问题 ?精品.教学后记：精品.第十章 函数项级数 1 函数项级数的一致收敛性（2）一、本次课主要内容函数项级数一致收敛性。二、教学目的与要求使学生理解函数项级数一致收敛性概念。掌握函数项级数一致收敛性的判断。三、教学重点难点函数序列一致收敛性的判别方法。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。五、作业与习题布置P68 1（9）（11），P69 5精品.一. 函数项级数及其一致收敛性: 1 函数项级数及其和函数： , 前 项部分和函数列 ，收敛点，收敛域, 和函数, 余项. 例1 定义在

6、内的函数项级数( 称为几何级数 ) 的部分和函数列为 , 收敛域为 . 2. 一致收敛性: 定义一致收敛性. Th2 ( Cauchy准则 ) 级数 在区间D上一致收敛, , 对 D成立. 推论 级数 在区间D上一致收敛, , . Th3 级数 在区间D上一致收敛, . 例2 证明级数 在R内一致收敛 . 证 令 = , 则 时 精品. 对 R成立. 例3 几何级数 在区间 上一致收敛；但在 内非一致收敛. 证 在区间 上 , 有 , . 一致收敛 ; 而在区间 内 , 取 , 有 , . 非一致收敛. ( 亦可由通项 在区间 内非一致收敛于零, 非一致收敛.) 几何级数 虽然在区间 内非一致

7、收敛 , 但在包含于 内的任何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数 在区间 内闭一致收敛 . 二. 函数项级数一致收敛判别法: 1. M - 判别法: 精品.Th 4 ( Weierstrass判别法 ) 设级数 定义在区间D上, 是收敛的正项级数.若当 充分大时, 对 D有| , 则 在D上一致收敛 . 证 然后用Cauchy准则. 亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数 是级数 的一个优级数. 于是Th 4 可以叙述为: 若级数 在区间D上存在优级数 , 则级数 在区间D上一致收敛 . 应用时, 常可试取 .但应注意, 级数

8、在区间D上不存在优级数 , 级数 在区间D上非一致收敛. 注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在. 例 3 判断函数项级数 和 在R内的一致收敛性 . 例 4 设 是区间 上的单调函数. 试证明 : 若级数与 都绝对收敛, 则级数 在区间 上绝对并一致收敛 . 简证 , 留为作业. . 2. Abel判别法: 精品.Th 5 设 级数 在区间 上收敛; 对每个 , 数列 单调 ; 函数列 在 上一致有界, 即 , 使对 和 , 有. 则级数 在区间 上一致收敛 . ( 1P43 ) 3. Dirichlet判别法: Th 6 设 级数 的部分和函数列 在区间 上一致有

9、界; 对于每一个 , 数列 单调; 在区间 上函数列 一致收敛于零. 则级数 在区间 上一致收敛 . 例5 判断函数项级数 在区间 上的一致收敛性. 解 记 . 则有 级数 收敛; 对每个 , ； 对 和 成立. 由Abel判别法, 在区间 上一致收敛. 例6 设数列 单调收敛于零 . 试证明 : 级数 在区间 上一致收敛. 证 在 上有精品. . 可见级数 的部分和函数列在区间 上一致有界 . 取 , . 就有级数 的部分和函数列在区间 上一致有界, 而函数列 对每一个 单调且一致收敛于零.由Dirichlet判别法,级数 在区间 上一致收敛. 其实 , 在数列 单调收敛于零的条件下, 级数

10、 在不包含 的任何区间上都一致收敛. 习 题 课 例1 设 , , . 且 , . 若对每个自然数 有| | 对 成立, 则函数列 在 上一致收敛于函数 . 例2 证明函数列 在区间 上非一致收敛. 例3 , . 讨论函数列 的一致收敛性. 解 0, . | 0| . 可求得 精品. . 函数列 在区间 上非一致收敛. 例4 设函数 在区间 上连续 . 定义 . 试证明函数列 在区间 上一致收敛于零. 证法一 由 有界 . 设在区间 上| | . | | ; | | ; | | .注意到对 , . 0, , . 证法二 . 精品. 有界. 设在区间 上| | . 把函数 在点展开成具Lagra

11、nge型余项的 阶Taylor公式 , 注意到 , 就有 , , , . 所以 , 0, , . 例5 设 . 且 , . 令 , , . .试证明: 若对 和 , 有 , 则函数列 在区间 上一致收敛 . 证 对 取 , 使 时, 有 . 于是对任何自然数 和, 有 . 由Cauchy收敛准则 , 函数列 在区间 上一致收敛 . 精品. 例6 设在数集 上函数列 一致收敛于函数 . 若每个 在数集 上有界 , 则函数列 在数集 上一致有界 . 证 ( 先证函数 在数集 上有界 ) 设在 上有| | . 对 ,由函数列 在数集 上一致收敛, ,当 时 , 对 ,有 | | | , | | .

12、即函数 在数集 上有界. ( 次证函数列 在数集 上一致有界 ) 时, 对 ,有 | | | | | , | | . 取 易见对 和 有| | . 即函数列 在数集 上一致有界 . 教学后记：精品.第十章 函数项级数 2 一致收敛级数的判别与性质（1）一、本次课主要内容函数项级数的一致收敛的柯西收敛准则和一致收敛级数的性质。二、教学目的与要求使学生掌握判别函数的一致收敛性。深刻理解函数项级数一致收敛的判别方法。三、教学重点难点函数项级数一致收敛的判别方法的选择与使用。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。五、作业与习题布置P82 1（4）（6）（8）（10）精品.一. 一致收敛函数列极限函数的解析性质: 1. 连续性: Th 1 设在 上 ,且对 ,函数 在 上连续 , 在 上连续. 证 ( 要证 : 对 , 在点 连续 . 即证: 对 , , 当| 时, . ) . 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、