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1、.倍长中线线段造全等1、已知：如图,AD是ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且 AE=EF,求证：AC=BF分析：要求证的两条线段AC、BF不在两个全等的三角形中,因此证AC=BF困难,考虑能否通过辅助线把AC、BF转化到同一个三角形中,由AD是中线,常采用中线倍长法,故延长AD到G,使DG=AD,连BG,再通过全等三角形和等线段代换即可证出。2、已知在ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证：AF=EF提示：倍长AD至G,连接BG,证明BDGCDA 三角形BEG是等腰三角形3、已知,如图ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是
2、_.4、在ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB边的取值范围是 A、1AB29 B、4AB24 C、5AB19 D、9AB195、已知：AD、AE分别是ABC和ABD的中线,且BA=BD, 求证：AE=AC6、如图,ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证：AD平分BAE.7、已知CD=AB,BDA=BAD,AE是ABD的中线,求证：C=BAE提示：倍长AE至F,连结DF 证明ABEFDESAS进而证明ADFADCSAS8、如图23,ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DEDF,交AB于点E,连结EG、EF. 求证：BG=CF 请你判断BE
3、+CF与EF的大小关系,并说明理由。9、如图,AD为的中线,DE平分交AB于E,DF平分交AC于F. 求证：方法1：在DA上截取DG=BD,连结EG、FG 证明BDEGDE DCFDGF 所以BE=EG、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边方法2：倍长ED至H,连结CH、FH 证明FH=EF、CH=BE 利用三角形两边之和大于第三边10、如图,ABC中,E、F分别在AB、AC上,DEDF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.11、已知：如图,在中,D、E在BC上,且DE=EC,过D作交AE于点F,DF=AC.求证：AE平分方法1：倍长AE至G,连结DG方法2：倍长FE至H,连结CH图4
4、-2图4-3截长补短7.9作业：已知,四边形ABCD中,ABCD,12,34。求证：BCABCD。1、如图,ADBC,点E在线段AB上,ADE=CDE,DCE=ECB.求证：CD=AD+BC.证明：在CD上截取CF=BC在FCE与BCE中,FCEBCESAS,2=1.又ADBC,ADC+BCD=180,DCE+CDE=90,2+3=90,1+4=90,3=4.在FDE与ADE中,FDEADEASA,DF=DA,CD=DF+CF,CD=AD+BC.2、已知：如图,在ABC中,C2B,12.求证：AB=AC+CD.证明：方法一补短法延长AC到E,使DC=CE,则CDECED,ACB2E,ACB2B
5、,BE,在ABD与AED中,ABDAEDAAS,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC,AB=AC+DC.方法二截长法AB上截取AF=AC,在AFD与ACD中,AFDACDSAS,DF=DC,AFDACD.又ACB2B,FDBB,FD=FB.AB=AF+FB=AC+FD,AB=AC+CD.3、如图,在ABC中,BAC=60, AD是BAC的平分线,且AC=AB+BD,求ABC 的度数4、如图,已知在ABC中,B=60,ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证：OE=OD5、已知中,、分别平分和,、交于点,试判断、的数量关系,并加以证明6、如图,已知在内,P,Q分别在BC,CA上,并且AP
6、,BQ分别是,的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP7、如图在ABC中,ABAC,12,P为AD上任意一点,求证;AB-ACPB-PC8、如图,点为正三角形的边所在直线上的任意一点,作,射线与外角的平分线交于点,与有怎样的数量关系?角平分线上的点向角两边引垂线段1、如图,在四边形ABCD中,BCBA,ADCD, 求证：BAD+C=1802、如图,四边形ABCD中,AC平分BAD,CEAB于E,AD+AB=2AE,则B与ADC互补.为什么？DBEAC3、如图4,在ABC中,BD=CD,ABD=ACD,求证AD平分BAC.ABCD4、如图,在ABC中,ABC=100,ACB=20,CE平分ACB
7、,D是AC上一点,若CBD=20,求ADE的度数.7.5作业：已知,ABAD,12,CDBC。求证：ADCB180。7.6作业：如图,在ABC中ABC,ACB的外角平分线交P.求证:AP是BAC的角平分线7.6作业：如图,B=C=90,AM平分DAB,DM平分ADC求证:点M为BC的中点连接法构造全等三角形7.9作业：已知：如图所示,ABAD,BCDC,E、F分别是DC、BC的中点,求证： AEAF。DBCcAFE1、如图,直线AD与BC相交于点O,且AC=BD,AD=BC求证：CO=DO2、已知：如图16,AB=AE,BC=ED,点F是CD的中点,AFCD求证：B=E 3、如图 11-30,
8、已知ABAE,BE,BCED,点F是CD的中点.求证：AFCD.4、在正内取一点,使,在外取一点,使,且,求.5、如图所示,BD=DC,DEBC,交BAC的平分线于E,EMAB,ENAC,求证：BM=CNACNEMBD6、如图,在ABD和ACD中,AB=AC,B=C求证：ABDACD全等+角平分线性质1、如图21,AD平分BAC,DEAB于E,DFAC于F,且DB=DC,求证：EB=FC2、已知：如图所示,BD为ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PMAD于M,PNCD于N,判断PM与PN的关系全等+等腰性质1、如图,在ABE中,ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于点O.求
9、证： ABCAED； OBOE .2、.已知：如图,B、E、F、C四点在同一条直线上,ABDC,BECF,BC求证：OAOD两次全等7.4作业：AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF1、如图,D、E、F、B在一条直线上AB=CD, B=D,BF=DE.求证：1AE=CF; 2AECF 3AFE=CEFADFECB2、如图：A、E、F、B四点在一条直线上,ACCE,BDDF,AE=BF,AC=BD。求证：ACFBDE3、如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,1=2,3=4,求证: 5=64、已知如图,E、F在BD上,且ABCD,BFDE,AECF求证：AC与BD
10、互相平分ABEOFDC由BFDF,得BEDFABECDF,BD再证AOBCOD,得OAOC,OBOD即AC、BD互相平分5、如图,在四边形ABCD中,ADBC,ABC=90DEAC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC.求证：BG=FGAFCBDEG直角三角形全等余角性质作业：如图,在等腰RtABC中,C90,D是斜边上AB上任一点,AECD于E,BFCD交CD的延长线于F,CHAB于H点,交AE于G求证：BDCG1、如图,将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上,且过A,B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为D,E,请你在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等的过程解
11、：全等三角形为：ACDCBE证明如下：由题意知CAD+ACD=90,ACD+BCE=90,CAD=BCE在ACD与CBE中,ADC=CEB=90CAD=BCE AC=BC ,ACDCBEAASABCFDE2、如图,ABC90,ABBC,D为AC上一点,分别过A、C作BD的垂线,垂足分别为E、F求证：EFCFAE证ABEBCF,得BECF,AEBF,EFBEBFCFAE3、在ABC中,直线经过点,且于,于.当直线绕点旋转到图1的位置时,求证： ；当直线绕点旋转到图2的位置时,1中的结论还成立吗？若成立,请给出证明；若不成立,说明理由.4、如图：BEAC,CFAB,BM=AC,CN=AB。求证：1
12、AM=AN；2AMAN。作平行线1、已知ABC,AB=AC,E、F分别为AB和AC延长线上的点,且BE=CF,EF交BC于G求证：EG=GF 2、如图,在ABC中,AB=AC,BD平分ABC,DEBD于D,交BC于点E求证：CD=BE15432EFBDCA证明：过点D作DFAB交BC于点FBD平分ABC,1=2DFAB,1=3,4=ABC 2=3,DF=BFDEBD,2+DEF=90,3+5=90DEF=5DF=EFAB=AC,ABC=C4=C,CD=DFCD=EF=BF,即CD=BE延长角平分线的垂线段1、如图,在ABC中,AD平分BAC,CEAD于E求证：ACE=B+ECD分析：注意到AD平分BAC,CEAD,于是可延长CE交AB于点F,即可构造全等三角形证明：延长CE交AB于点FAD平分BAC,FAE=CAECEAD,FEA=CEA=90在FEA和CEA中,FAE=CAE,AE=AE,FEA=CEA FEACEAACE=AFEAFE=B+ECD,ACE=B+ECD2、如图,ABC中,BAC=90度,AB=AC,BD是ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F求证：BD=2CE3、如图：BA
