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1、一般高等学校招生全国统一考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每题4分,共0分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目规定的.已知集合，,则（ ) . .D. 【答案】B【解析】【分析】根据交集定义求解【详解】选.【点睛】本题考察集合交集，考察基本求解能力,属基本题.双曲线的一种焦点到一条渐近线的距离是( )A. 1.2C. 4.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长一半,即得成果.【详解】由于双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长一半,因此双曲线的一种焦点到一条渐近线的距离是,选A【点睛】本题考察双曲线的焦点与渐近线,考察基本分析求解能力，属基本题.3复数(
2、为虚数单位）的共轭复数是（ ）. B. D 【答案】C【解析】【分析】先化简复数为代数形式,再根据共轭复数概念求解.【详解】由于,因此其共轭复数是，选.【点睛】本题考察共轭复数概念，考察基本分析求解能力,属基本题.4若变量,满足约束条件,则的最大值是( )A. 1B C. 3【答案】【解析】【分析】先作可行域,再求范畴,最后可得的最大值.【详解】作可行域,如图，则直线过点（-1，-1)时取最小值4,过点时取最大值2,因此的最大值是4，选D【点睛】本题考察线性规划求最值，考察基本分析求解能力,属基本题.5.设函数，则函数的图像也许为( )A. . 【答案】【解析】【分析】先判断函数奇偶性，舍去B
3、,D,再根据函数值正负拟定选项【详解】由于,因此舍去B,，由于ln,因此选C【点睛】本题考察函数图象辨认，考察基本分析判断能力，属基本题6.设平面与平面相交于直线,直线在平面内，直线在平面内,且,则“”是“”的( ）A充足不必要条件B. 必要不充足条件. 充要条件.既不充足也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据面面垂直性质定理可证得充足性成立,举反例阐明必要性不成立.【详解】由于，平面与平面相交于直线,直线在平面内,且，因此，由于直线在平面内，因此，即充足性成立,若,，但时，与不一定垂直,即不一定垂直,即必要性不成立.选A.【点睛】本题考察面面垂直性质定理与充要关系,考察基本分析判断能力,
4、属中档题.7已知袋子中装有若干个大小形状相似且标有数字1，2,3的小球，每个小球上有一种数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一种小球,若取出小球上的数字的数学盼望是2,则的方差是( ) B. C. .【答案】B【解析】【分析】根据题意可假设标有数字,2,的小球各有个,再根据方差定义求成果【详解】由于取出小球上的数字的数学盼望是，且个数依次成等差数列,因此不妨设标有数字1,2,的小球各有1个,从而随机抽取一种小球概率皆为,方差为，选B.【点睛】本题考察数学盼望与方差，考察基本分析与求解能力,属中档题.8.已知三棱锥中，为正三角形,，且在底面内的射影在的内部(不涉及边界),二面角，二面角,
5、二面角的大小分别为,，则( )A C. D.【答案】C【解析】【分析】作出三个二面角,再根据,拟定二面角大小.【详解】设在底面内的射影为O,过O分别作AB,BC,CA垂线，垂足分别为D,，则,从而,，由于,因此,即，即,选C【点睛】本题考察二面角,考察基本分析与判断能力,属中档题.9.已知向量,的夹角为，且,则的最小值为( ). B. C. D 【答案】B【解析】【分析】建立坐标系，将转化为直线上一动点到两定点距离和,再根据对称求最小值【详解】由题意可设,，因此表达直线上一动点到定点距离的和,由于有关直线的对称点为,因此选B.【点睛】本题考察向量坐标表达与直线对称,考察等价转化与数形结合思想措
6、施，考察基本求解能力，属难题10.已知数列满足,则使的正整数的最小值是（ )A. B. CD.【答案】【解析】【分析】令,运用裂项相消法得,再根据范畴求正整数的最小值.【详解】令，则，因此,从而，由于,因此数列单调递增,设当时, 当时，因此当时，,从而，因此,选.【点睛】本题考察数列递推关系与裂项相消法,考察等价转化与构造法,考察综合分析与求解能力,属难题.二、填空题：本大题共小题，多空题每题6分，单空题每题4分,共36分.1.国内古代某数学著作中记载了一种折竹抵地问题:“今有竹高二丈，末折抵地,去本六尺，问折者高几何?”意思是：有一根竹子(与地面垂直),原高二丈（1丈=10尺),现被风折断,
7、尖端落在地上,竹尖与竹根的距离为六尺，则折断处离地面的高为_尺.【答案】.1尺【解析】【分析】根据题意列方程,解得成果.【详解】设折断处离地面的高为尺则【点睛】本题考察数学文化与应用,考察基本分析与求解能力，属基本题.某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积(单位:)等于_，表面积(单位:）等于_.【答案】(1）. (）. 【解析】【分析】先还原几何体,再根据柱体与锥体性质求体积与表面积【详解】几何体一种边长为2的正方体挖去一种正四棱锥(顶点在正方体下底面中心,底面为正方体上底面)，因此几何体的体积为，表面积为【点睛】本题考察三视图与柱体与锥体性质，考察空间想象能力与基本求解能力，
8、属基本题.13.在中,内角，所对的边分别为，,.已知，则的值为_，若，,则的面积等于_.【答案】 (1) （2). 6【解析】【分析】第一空根据两角和正切公式得,再根据同角三角函数关系得的值，第二空先根据正弦定理得，再根据两角和正弦公式得,最后根据面积公式得成果.【详解】由于,因此，因此由于,因此由于(),因此的面积等于【点睛】本题考察两角和正切公式、两角和正弦公式与正弦定理，考察基本分析求解能力，属基本题14.若，则_，_【答案】 (1)-7 (）.-94【解析】【分析】运用赋值法求系数.【详解】令得，因此，令得，令得,两式相加得【点睛】本题考察运用赋值法求二项展开式系数,考察基本分析求解能
9、力,属基本题.15已知函数,则 _，若实数,且,则的取值范畴是_【答案】 （1). (2).【解析】【分析】第一空直接代入相应解析式求解即可，第二空先根据函数图象拟定关系及取值范畴,再求的取值范畴【详解】),由于,且，因此,因此【点睛】本题考察分段函数求值以及函数图像,考察综合分析与求解能力,属中档题1.既有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球所有放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一种小球,则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_种.（成果用数字表达)【答案】6【解析】【分析】根据相邻问题捆绑法,不相邻问题插空法进行求解.【详解】先不考虑红球与黄球不相邻,则4个
10、小球有种排法,再安排空盒，有种措施,再考虑红球与黄球相邻,则4个小球有种排法,再安排空盒,有种措施,因此所求放法为 【点睛】本题考察排列组合应用,考察综合分析与求解能力，属中档题1.已知椭圆的两个顶点,，过，分别作的垂线交该椭圆于不同于的,两点，若,则椭圆的离心率是_.【答案】【解析】【分析】先求出，两点坐标,再根据弦长公式化简，解得离心率【详解】过作的垂线的方程为，与联立方程组解得，过作的垂线的方程为,与联立方程组解得，由于，因此【点睛】本题考察椭圆的离心率,考察综合分析与求解能力，属中档题三、解答题:本大题共5小题,共74分。解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节8.已知函数.（）求函数的
11、单调递减区间;(）求方程在区间内的所有实根之和【答案】（)，.(）【解析】【分析】()先根据二倍角公式、辅助角公式化基本三角函数，再根据正弦函数性质求减区间，(）根据正弦函数图像与性质求简朴三角方程的根【详解】（）,由单调递减可知,递增,故，即函数的单调递增区间是,.（)由，得.由在上递增,在上递减，且，得,方程在上有两不等实根,且满足.【点睛】本题考察二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数图像与性质,考察综合分析与求解能力,属中档题.9.如图，在四棱锥中,底面是边长为的正方形，且，平面平面,二面角为.()求证:平面;(）求与平面所成角的正弦值.【答案】()见解析（2）【解析】【分析】(）根据面面
12、垂直性质定理得平面，即得即为二面角的平面角,运用余弦定理解得,根据勾股定理得.最后根据线面垂直鉴定定理得结论,(）先运用等体积法求点到平面的距离,再根据解三角形得成果.【详解】（）证明:平面平面,交线为，且,平面，从而,即为二面角的平面角,即.又,由余弦定理得,，即.又,平面(）由（)知，平面,从而,又,，故.由已知,点到平面的距离等于点到平面的距离,设点到平面的距离为,则点到平面的距离也为,由得：，.与平面所成角的正弦值.【点睛】本题考察面面垂直性质定理、二面角、线面垂直鉴定定理、等体积法求点到平面的距离以及线面角,考察综合分析与求解能力，属中档题.已知等差数列的前项和为,，公差,且,成等比
13、数列，数列满足,的前项和为.（）求数列和的通项公式;()记，试比较与的大小.【答案】(）,()见解析【解析】【分析】(）根据待定系数法求得公差，再运用和项与通项关系得的通项公式,()先运用裂项相消法求,运用等比数列求和公式得,最后作差,运用二项展开式比较大小【详解】（)由已知得，即，又，.由得时,.,显然也满足,.(）， ,当时,，,当时,当时, ，综上,当时，；当时.【点睛】本题考察运用和项与通项关系求通项公式、裂项相消法求和以及二项展开式应用,考察综合分析与求解能力，属中档题21.已知抛物线：的焦点为,过点的动直线与抛物线交于，两点,直线交抛物线于另一点,的最小值为4.(）求抛物线的方程;（）记、的面积分别为,求的最小值.【答案】()(）【解析】【分析】()根据抛物线性质可得,即得成果,(）设直线方程,与抛物线方程联立，运用韦达定理以及弦长公式求,再运用基本不等式求最值.【详解】（）由已知及抛物线的几何性质可得，抛物线的方程为()设直线：,:，,，由 ，,同理可得,从而,点到的距离，.又,.当且仅当,即时有最小值.【点睛】本题考察抛物线定义与性质以及基本不等式求最值，考察综合分析与求解能力,属中档题.2已知函数,
