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1、电磁场与电磁波习题解答 第七章 正弦电磁波7.1 求证在无界理想介质内沿任意方向en（en为单位矢量）传播的平面波可写成。解 Em为常矢量。在直角坐标中故则而故可见，已知的满足波动方程故E表示沿en方向传播的平面波。7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。解 表征沿+z方向传播的椭圆极化波的电场可表示为式中取显然，E1和E2分别表示沿+z方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。7.3 在自由空间中，已知电场，试求磁场强度。解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式这是一个沿+z方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为。与之相伴的磁场为7.4 均匀平面波的磁场强度H的振幅为，
2、以相位常数30rad/m在空气中沿方向传播。当t=0和z=0时，若H的取向为，试写出E和H的表示式，并求出波的频率和波长。解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式与之相伴的电场为由得波长和频率分别为则磁场和电场分别为7.5 一个在空气中沿方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为（1）求和在时，的位置；（2）写出E的瞬时表示式。解（1）在t=3ms时，欲使Hz=0，则要求若取n=0，解得y=899992.m。考虑到波长，故因此，t=3ms时，Hz=0的位置为（2）电场的瞬时表示式为7.6 在自由空间中，某一电磁波的波长为0.2m。当该电磁波进入某理想介质后，波长变为0.09m。设，试求理
3、想介质的相对介电常数以及在该介质中的波速。解 在自由空间，波的相速，故波的频率为在理想介质中，波长，故波的相速为而故7.7 海水的电导率，相对介电常数。求频率为10kHz、100kHz、1MHz、10MHz、100MHz、1GHz的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。解 先判定海水在各频率下的属性可见，当时，满足，海水可视为良导体。此时f=10kHz时f=100kHz时f=1MHz时f=10MHz时当f=100MHz以上时，不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时，f=100MHz时f=1GHz时7.8 求证：电磁波在导电媒质内传播时场量的衰减约为55dB/。证明 在一定频率范围内将该导电媒质
4、视为良导体，此时故场量的衰减因子为即场量的振幅经过z =的距离后衰减到起始值的0.002。用分贝表示。7.9 在自由空间中，一列平面波的相位常数，当该平面波进入到理想电介质后，其相位常数变为。设，求理想电介质的和波在电介质中的传播速度。解 自由空间的相位常数，故在理想电介质中，相位常数，故电介质中的波速则为7.10 在自由空间中，某均匀平面波的波长为12cm；当该平面波进入到某无损耗媒质时，波长变为8cm，且已知此时的，。求该均匀平面波的频率以及无损耗媒质的、。解 自由空间中，波的相速，故波的频率为在无损耗媒质中，波的相速为故 （1）无损耗媒质中的波阻抗为 （2）联解式（1）和式（2），得7.
5、11 一个频率为f=3GHz，ey方向极化的均匀平面波在，损耗正切的非磁性媒质中沿方向传播。求：（1）波的振幅衰减一半时，传播的距离；（2）媒质的本征阻抗，波的波长和相速；（3）设在x=0处的，写出H(x,t)的表示式。解 （1）故而该媒质在f=3GHz时可视为弱导电媒质，故衰减常数为由得（2）对于弱导电媒质，本征阻抗为而相位常数故波长和相速分别为（3）在x=0处，故则故7.12 有一线极化的均匀平面波在海水()中沿+y方向传播，其磁场强度在y=0处为（1）求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出H的振幅为0.01A/m时的位置；（3）写出E(y,t)和H(y,t)的表
6、示式。解 （1）可见，在角频率时，海水为一般有损耗媒质，故（2）由即得（3）其复数形式为故电场的复数表示式为则7.13 在自由空间（z0的区域，求。解 可见，在f=1.5MHz的频率该导体可视为良导体。故分界面上的透射系数为入射波电场的复数表示式可写为则z0区域的透射波电场的复数形式为与之相伴的磁场为则7.14 一圆极化波垂直入射到一介质板上，入射波电场为求反射波与透射波的电场，它们的极化情况又如何？解 设媒质1为空气，其本征阻抗为；介质板的本征阻抗为。故分界面上的反射系数和透射系数分别为式中都是实数，故也是实数。反射波的电场为可见，反射波的电场的两个分量的振幅仍相等，相位关系与入射波相比没有
7、变化，故反射波仍然是圆极化波。但波的传播方向变为-z方向，故反射波也变为右旋圆极化波。而入射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。透射波的电场为式中，是媒质2中的相位常数。可见，透射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。7.15 均匀平面波的电场振幅，从空气中垂直入射到无损耗的介质平面上（介质的），求反射波和透射波的电场振幅。解 反射系数为透射系数为故反射波的电场振幅为透射波的电场振幅为7.16 最简单的天线罩是单层介质板。若已知介质板的介电常数，问介质板的厚度应为多少方可使频率为3GHz的电磁波垂直入射到介质板面时没有反射。当频率分别为3.1GHz及2.9GHz时，反射增大多少？题7.16图解 天线
8、罩示意图如题7.16图所示。介质板的本征阻抗为，其左、右两侧媒质的本征阻抗分别为和。设均匀平面波从左侧垂直入射到介质板，此问题就成了均匀平面波对多层媒质的垂直入射问题。设媒质1中的入射波电场只有x分量，则在题7.16图所示坐标下，入射波电场可表示为而媒质1中的反射波电场为与之相伴的磁场为故媒质1中的总电场和总磁场分别为 （1）同样，可写出媒质2中的总电场和总磁场 （2）媒质3中只有透射波 （3）在式（1）、（2）、（3）中，通常已知入射波电场振幅，而、和为待求量。利用两个分界面和上的四个边界条件方程即可确定它们。在分界面处，即z=0处，应有。由式（2）和（3）得 （4）由式（4）可得出分界面上
9、的反射系数 （5）在分界面处，即z=-d处，应有，。由式（1）和（2）得 （6）将分界面上的总电场与总磁场之比定义为等效波阻抗（或称总场波阻抗），由式（1）得 （7）将式（6）代入式（7）得 （8）将式（5）代入式（8），并应用欧拉公式，得 （9）再由式（7）得分界面上的反射系数 （10）显然，若分界面上的等效波阻抗等于媒质1的本征阻抗，则，即分界面上无反射。通常天线罩的内、外都是空气，即，由式（9）得欲使上式成立，必须。故频率f0=3GHz时则当频率偏移到f1=3.1GHz时，故而故此时的等效波阻抗为反射系数为即频率偏移到3.1GHz时，反射将增大6%。同样的方法可计算出频率下偏到时，反射将
10、增加约5%。讨论（1）上述分析方法可推广到n层媒质的情况，通常是把坐标原点O选在最右侧的分界面上较为方便。（2）应用前面导出的等效波阻抗公式（9），可以得出一种很有用的特殊情况（注意：此时）。取，则有由式（9）得若取，则此时，分界面上的反射系数为即电磁波从媒质1入射到分界面时，不产生反射。可见，厚度的介质板，当其本征阻抗时，有消除反射的作用。7.17 题7.17图所示隐身飞机的原理示意图。在表示机身的理想导体表面覆盖一层厚度的理想介质膜，又在介质膜上涂一层厚度为d2的良导体材料。试确定消除电磁波从良导体表面上反射的条件。解 题7.17图中，区域（1）为空气，其波阻抗为区域（2）为良导体，其波阻
11、抗为区域（3）为理想介质，其波阻抗为区域（4）为理想导体，其波阻抗为利用题7.16导出的公式（9），分界面上的等效波阻抗为应用相同的方法可导出分界面上的等效波阻抗计算公式可得 （1）式中的是良导体中波的传播常数，为双曲正切函数。将代入式（1），得 （2）由于良导体涂层很薄，满足，故可取，则式（2）变为 （3）分界面上的反射系数为可见，欲使区域（1）中无反射，必须使故由式（3）得 （4）将良导体中的传播常数和波阻抗代入式（4），得这样，只要取理想介质层的厚度，而良导体涂层的厚度，就可消除分界面上的反射波。即雷达发射的电磁波从空气中投射到分界面时，不会产生回波，从而实现飞机隐身的目的。此结果可作如
12、下的物理解释：由于电磁波在理想导体表面（即分界面上产生全反射，则在离该表面处（即分界面出现电场的波腹点。而该处放置了厚度为d2的良导体涂层，从而使电磁波大大损耗，故反射波就趋于零了。7.18 均匀平面波从自由空间垂直入射到某介质平面时，在自由空间形成驻波。设驻波比为2.7，且介质平面上有驻波最小点；求介质的介电常数。解 自由空间的总电场为式中是分界面上的反射系数。驻波比的定义为得据此求得因介质平面上是驻波最小点，故应取反射系数得则7.19 如题7.19图所示，z0区域的媒质介电常数为，在此媒质前置有厚度为d、介电常数为的介质板。对于一个从左面垂直入射过来的TEM波，试证明当且时，没有反射（为自由空间的波长）。解 媒质1中的波阻抗为 （1）媒质2中的波阻抗为 （2）当时，由式（1）和（2）得
