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1、北师大版数学精品教学资料3解析几何超市里有各种各样的酒杯，如下图所示，从轴截面来看，有的是抛物线的一部分，有的是椭圆的一部分，还有的是等腰三角形的一部分很显然它们的形状有着很大的差异，如果现在将一些大小不等的玻璃球放入这些酒杯中，那么哪些可以触及酒杯的底部？类似的问题在生活中是会经常遇到的，解决的方法自然会想到利用解析几何知识，解析几何知识又是在怎样的情境中被发现的呢？它的发现，又具有怎样的意义呢？学完本节内容相信你就可以解决这些问题1解析几何的创始人是_和_笛卡儿的_出版于1637年6月8日，其中几何学是方法论的附录，这一天就是解析几何的诞生日2笛卡儿把_的概念作为自己科学的哲学基础，从而把
2、运动带进了数学在笛卡儿之后，运动进入了数学和其他科学，带有_的性质3笛卡儿的理论以两个思想为基础：一个是_；另一个是_即两个未知数表示的某个代数方程可以看成平面上的一条曲线，反之，一条曲线可以用曲线上任意点(x，y)坐标之间的方程关系来表示4解析几何的意义可以简单地概括如下：(1)数学的研究方向发生了一次重大转折：古代以几何为主导的数学转变为以_为主导的数学(2)以常量为主导的数学转变为以_为主导的数学，为微积分的诞生奠定了基础(3)使_融合为一体，实现了几何图形的数字化，是数字化时代的先声(4)_，使人们摆脱了现实的束缚它为人们认识更为广泛的新空间带来了可能，帮助人们从现实空间进入虚拟空间，
3、从三维空间进入更高维的空间答案：1笛卡儿费马方法论2物质运动辩证法3坐标思想方程与曲线的思想4(1)代数和分析(2)变量(3)代数和几何(4)代数的几何化和几何的代数化一、解析几何在平面几何中的应用【例1】 解决下列问题，体会解析几何的基本思想某船航行前方的河道上有一圆拱桥，在正常水位时，拱圆最高点距水面为9米，拱圆内水面为18米，船只在水面以上部分高为6.5米，船顶部宽为4米，此时航行无阻近日水位暴涨了2.7米，船只已经不能通过桥洞了，船员必须加重船载，降低船身，试问：船身必须降低多少，才能通过桥洞？解：建立如图所示的坐标系，则A (9，9)，B(2，y1)，设圆方程为x2(yb)2r2，因
4、为A(9，9)，O(0,0)，在圆上，所以解得圆的方程为x2(y9)281，B点纵坐标y19，涨水前B离水面距离为，涨水后B离水面距离为2.76.5，船要通过，高度需降低9.20.4，所以船身必须降低0.4米，才能通过桥洞解析几何的重要思想是“坐标思想”和“方程与曲线的思想”，建立坐标系解决问题，使代数和几何融合为一体，实现了几何图形的数字化解决下列问题，体会解析几何的基本思想如图所示，某农场在P处有一堆肥，今要把这堆肥沿道路PA或PB送到大田ABCD中去，已知PA=100 m，PB=150 m，APB=60，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿PA送肥较近，而另一侧的点沿PB送肥较
5、近？如能，请确定这条界线二、解析几何在立体几何中的应用【例2】 利用欧氏几何法和坐标法两种方法解决下面的问题，体会解析几何的意义如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E，F分别是AB，SC的中点(1)求证：EF平面SAD；(2)设SD2CD，求二面角AEFD的大小图1 图2解法一：(1)证明：如图1，作FGDC交SD于点G，则G为SD的中点连接AG，又FGCD，又CDAB，故FGAE，所以四边形AEGF为平行四边形所以EFAG.又AG平面SAD，EF平面SAD，所以EF平面SAD.(2)不妨设DC2，则SD4，DG2，ADG为等腰直角三角形取AG中点H，连
6、接DH，则DHAG.又AB平面SAD，所以ABDH.而ABAGA，所以DH平面AEF.取EF中点M，连接MH，则HMEF.连接DM，则DMEF.故DMH为二面角AEFD的平面角，tanDMH.所以二面角AEFD的大小为arctan.解法二：(1)证明：如图2，建立空间直角坐标系Dxyz.设A(a,0,0)，S(0,0，b)，则B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，F，.取SD的中点G，则.，EFAG，AG平面SAD，EF平面SAD，所以EF平面SAD.(2)不妨设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，S(0,0,2)，E，F，EF中点M，所以，(1,0,1)所以0，所以MD
7、EF.又，所以0.所以EAEF.所以向量和的夹角等于二面角AEFD的平面角，即cos，.所以二面角AEFD的大小为arccos.利用坐标法解决下面的问题，体会解析几何的意义如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点(1)求证：AB1面A1BD；(2)求二面角AA1DB的大小；(3)求点C到平面A1BD的距离 1笛卡儿和费马创立了解析几何2解析几何把运动带进了数学，它以两个思想为基础：“坐标思想”和“方程与曲线的思想”，对数学的进一步发展有重要意义答案：1解：大田ABCD中的点分成三类：设第一类沿PA送肥较近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA和PB送肥一样远近，第三类构成
8、第一类、第二类点的界线，即我们所要求的轨迹以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设M为界线所在曲线上的一点，则满足|PA|AM|PB|BM|，于是|MA|MB|PB|PA|50(50|AB|)由双曲线的定义可知M点的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，其方程可求得为1(0y60，25x35)，界线为双曲线在四边形ABCD中的一段2解：(1)证明：如图，取BC中点O，连接AO.ABC为正三角形，AOBC.在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，AO平面BCC1B1.取B1C1中点O1，以O为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)，(1,2，)，(2,1,0)，(1,2，)2200，1430，AB1BD，AB1BA1.AB1平面A1BD.(2)设平面A1AD的法向量为n(x，y，z)(1,1，)，(0,2,0)n，n， 令z1得n(，0,1)为平面A1AD的一个法向量由(1)知AB1平面A1BD，为平面A1BD的法向量cosn，.二面角AA1DB的大小为arccos.(3)由(2)知，为平面A1BD的法向量，(2,0,0)，(1,2，)，点C到平面A1BD的距离d.
