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1、5.设A为86的矩阵，已知它的秩为_2。6设A为三阶可逆阵，A100210，则A321（试卷一）填空题（本题总计20分，每小题2分）1.排列 7623451的逆序数是0a113a202.若a11 a121，则a213a?20a21 a22061B1 CA3.已知n阶矩阵A、B和C满足ABCE，其中E为n阶单位矩阵，则o4.若A为m n矩阵，则非齐次线性方程组AX b有唯一解的充分要条件是4，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为12345304128.已知五阶行列式 D11111，则 A41A42A43A4411023543217.若A为m n矩阵，则齐次线性方程组Ax 0有非零解的充
2、分必要条件是A45一9向量 （2,1,0,2）t的模（数）10.若121 T正交，则k 、选择题（本题总计10分，每小题2 分）1.向量组1, 2, r线性相关且秩为s,则（D）A. r sc. s rb. r sd. s r2.若A为三阶方阵，且 A 2E 0, 2A E0, 3A 4E0，贝U A (A)A. 8b. 8c.3设向量组d.A能由向量组B线性表示，则（d ）C. R(B) R(A)D. R(B) R(A)4.设n阶矩阵A的行列式等于 D，则kA等于(A) kA(B)knA(C) kn 1A(D) A5设n阶矩阵A , B和C，则下列说确的是(A) AB AC(B)AB0,则A
3、(C) (AB)T(D)(AB)(A B)2 2A B三、计算题（本题总计60分。11-3每小题8分,4-7每小题9分）1计算n阶行列式D2设A为三阶矩阵,的伴随矩阵，且1-，求(3A)2A .3. 求矩阵的逆4.讨论为何值时,非齐次线性方程组有唯一解;X1X1有无穷多解;X2X2X2X3X3X3无解。5.求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。X1X2X3 X422x-|3x2 x3x41X12x3 2x456.已知向量组 110 23 T21 13 5t、311 3 1 T最大无关组线性表示.7.求矩阵A的特征值和特征向量.四、证明题（本题总计10分）为AX
4、b b 0的一个解,n r为对应齐次线性方程组 AX 0的基础解系,证明1,线性无关。、填空题（本题总计20分，每小题2分）115 ； 2、3； 3、CA ；4、 R A二、选择题三、计算题（本题总计（本题总计1005、2；6、210 ； 7、R A n ； 8、();9、310、1。321D ；2、A ； 3、D ；4、C ； 5、B4-7他每小题9分)（答案一）12222R(A,b) n ；10分，每小题2分1、60分，1-3每小题8分,1、解：Dri (i3,4,n)2r11 ( 2) 1(n3)(n2)2(n 2)!（此题的方法不唯一，可以酌情给分。1解：（1）AB 2A 10 5分1
5、135934802 2(2)A B11121063117-8 分31111111781216A*为A的伴随矩阵，且A1i，求(3A) 1 2A * 1因 A A = A E - E，故2*AAn 1 143设A为三阶矩阵,AA2A(3A) 1 2A*2 *4*-A2AA33100104、解：（A, E）11001111003分100103427分J10010021010110 -3分r310111011 (1)1001002 (1)010110-6 分3(1)00121131164001001001故A110 -8分21111 113 15、解;(A,b)112r101123r10112011
6、200(2)(1 )(1)2(1001211(1)唯一解：R(A) R(A,b) 3（利用A 11A公式求得结果也正确。）A121 12321 12 1 33分1且25分（2）无穷多解： R（A） R（代b） 317分29分（利用其他方法求得结果也正确。）11112102256、解：（A,b）23111 01113 -3分1022500000(3)无解：R(A) R(代 b)22x1 2x3 2x4011基础解系为1，26分x2 x3 x4010012x32x453令X3X40，得一特解：-7分故原方程组的通解为：X2X3x4300522311k1 1k2 20k11k2 0，其中&R -9
7、分（此题结果表示不唯一，只要正确可以给001分。）1 1 07、解：特征方程 A E(4分)430(2)(1)2从而！2, 2311 0 2当12时，由（A 2E）X 0得基础解系1（0,0,1）T，即对应于1 2的全部特征向量为 k1 1 （k10)(731 时，由（A E）X0得基础 解系2（ 1, 2,1）T，即对 应于31的全部特征向量为k2 2 （k20）四、证明题（本题总计10分）证：由1, 2|nr为对应齐次线性方程组 AX 0的基础解系，则 1,nr线性无关。（3分）反证法：设1, 2川| nr,线性相关，则可由1, 2川川nr线性表示，即:r r (6因齐次线性方程组解的线性
8、组合还是齐次线性方程组解，故 必是AX0的解。这与已知条件AX b b 0的一个解相矛盾。（9分）.有上可知，1, 2川川n r,线性无关。（10分）（试卷二）一、填空题（本题总计20分，每小题2分）1.排列6573412的逆序数是2.函数f(x)2x 113x x x中x的系数是* 13设三阶方阵A的行列式A 3,则(A) =A/3.4. n元齐次线性方程组 AX=0有非零解的充要条件是 25设向量(1, 2, 1),= 正交，则 .26三阶方阵A的特征值为1 ,1, 2，则 A = 1 2 17. 设 A 10 21 ，则 A .0 038. 设A为8 6的矩阵，已知它的秩为4，则以A为系
9、数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为1 1 *9设A为n阶方阵，且A二2则(3A) a200110已知A2x2相似于B2，则x311y，y二、选择题(本题总计10分，每小题2分)1. 设n阶矩阵A的行列式等于 D，贝U 5A等于(A) ( 5)nD(B)-5 D (C) 5 D (D) ( 5)n 1D2. n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是 .(A) 矩阵A有n个线性无关的特征向量(B) 矩阵A有n个特征值(C) 矩阵A的行列式A 0(D) 矩阵A的特征方程没有重根3A为m n矩阵，则非齐次线性方程组AX b有唯一解的充要条件是 (A) R(A,b) m(B)R(A) m(C) R(A
10、) R(代 b) n(D)R(A) R(代b) n4.设向量组A能由向量组B线性表示，则（）(A) . R(B) R(A)(B). R(B) R(A)(C) R(B) R(A)(D) R(B) R(A)5.向量组i, 2,1”，s线性相关且秩为r，则(A) r S (B)r s (C)r s (D)（本题总计60分，每小题10 分）1222221.计算n阶行列式：D223222222二、计算题2.已知矩阵方程 AX222222n 1 22nA X，求矩阵X ,其中A3.设n阶方阵A满足A2 2A 4E0,证明A 3E可逆，并求（A 3E）4.求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系
