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1、第 5 讲 奇数与偶数全体整数根据被 2 除的余数可以分为两类： 余数为 0 的数叫偶数, 余数为 1 的数叫奇 数.一个整数要么是奇数,要么是偶数,是奇数就不能是偶数,是偶数就不能是奇数,即 奇数工偶数.除此之外,运用奇偶分析解题,常常要用到以下几个根本性质：奇数奇数 =偶数偶数偶数 =偶数 奇数偶数 =奇数 奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；假设干个偶数的和是偶数. 假设干个奇数之积是奇数； 偶数与任意整数之积是偶数, 下面我们就利用这些性质解一 些题目.例 1 能否在下式的每个方格中,分别填入加号或减号,使等式成立.1 2口 3 4口 5口 6口 7口 8 9=10分析 ：先随
2、便填入加号或减号试一试, 总也不能得到 10,因此猜想答案应该是不能. 特别是如果都填加号,得数是 45,是奇数.但怎样才能说明白呢？下面通过分析整数的 奇偶性解决问题.解 ：由于任意两个自然数之和与差的奇偶性相同,因此无论在方格中怎样填加减号, 所得结果的奇偶性与在每个方格中都填入加号所得结果的奇偶性一样.但是在每个方格中都填入加号所得的结果 45是奇数,而式子的右边是10偶数,两边的奇偶性不同, 奇数工 偶数,因此无论怎样填,都不可能使等式成立.说明：由于 a-b=a+b-2b, 因此 a-b 与 a+b 有相同的奇偶性.看似说不清的题目,用 简单的奇数工偶数就解决了.例 2 两个四位数相
3、加,第一个四位数的每个数码都不小于 5,第二个四位数只是 第一个四位数的数码调换了位置.某同学得出的答案是16246.试问该同学的答案正确吗？如果正确,写出这两个四位数；如果不正确,请说明理由.分析 ：每个数码都不小于 5 的四位数有很多, 一一去试验显然不太现实. 由于第二个 四位数只是第一个四位数的数码调换了位置, 因此下面我们分析这两个四位数的数码之和 的奇偶性.解：由于这两个四位数仅仅是数码调换了位置, 所以这两个四位数的四个数码之和相 同.因此这两个四位数的数码之和是一个偶数.由于这两个四位数的每一个数码都不小于5,因此,这两个数相加时, 其个位、 十位、百位、千位都要进位.如果 1
4、6246 是正确的,那么这两个四位数的个位上两数字之和应是16,十位上两数字之和应是 13,百位上两数字之和应是 11 ,千位上两数字之和应是 15,因此这两个四位 数的数码之和是16+13+11 + 15=55是奇数.由于奇数工偶数,所以该同学的答案是错误的.说明： 此题也可以这样说明： 由于这两个四位数仅仅是数码调换了位置, 所以这两个 四位数的四个数码之和相同. 因此这两个四位数的数码之和是一个偶数.这两个四位数的每一个数码都不小于 5,因此,这两个数相加时,有四次进位,每进一次位,所得的数码 之和将减少 9,四次进位共减少 36,所以和的数码之和仍是偶数.但是1+6+2+4+6=19是
5、奇数,奇数工偶数,所以该同学的答案是错误的.例3在黑板上写上数 1, 2, 3, 4,98,每次擦去任意两个数,换上这两个数的和或差, 重复这样的操作连续假设干次, 直到黑板上仅留下一个数为止, 这个数能是 1000 吗？分析 ：擦去任意两个数,换上这两个数的和或差,叫做一次操作.考察每操作一次, 这些数会发生什么变化.可以发现奇数个数的奇偶性不变,从而黑板上只剩下一个数时, 这个数只能是奇数.解： 如果擦去两个偶数或一奇一偶,那么操作一次,黑板上奇数个数不变.如果擦去两个奇数,那么操作一次,黑板上奇数就减少 2 个.所以,每操作一次,黑板上的奇数或不变或减少2个,即奇数个数的奇偶性不变.由于
6、1 , 2, 3, 4,98中共有49个奇数,所以,操作假设干次后,黑板上仅留下一个数时,这个数只能是奇数,即这个数不可能 是 1000.说明：在一定的规那么下进行某种操作或变换,问是否(或证实)能到达一个预期的目的,这就是所谓的操作变换问题.此类问题形式多样,解法灵活,解题的关键是在操作变换中挖掘不变量、不变性.例4 在4X 4的方格纸的16个小方格内,从 1、3、5三个数中任选一个数填入. 能不能使得4X4的方格纸的每行、每列以及两条对角线上的四个数的和均不相同.如果 能,请在小方格内填上满足要求的数；如果不能请说明理由.分析：4X4的方格纸的每行、每列以及两条对角线上的四个奇数的和是偶数
7、,且是 10个不同的偶数,而从 1、3、5中任选四个最多只有 9个偶数.解：不能.由于4个奇数的和是偶数,从1、3、5中取出四个数相加和最小是1+1+1 +仁4,最大是5+5+5+5=20,从4到20这17个自然数中共有偶数 9个,而4X 4的方格纸的四行、 四列以及两条对角线上的四个数的和如果均不相同的话,需要4+4+2=10个不同的偶数,910,故不可能填出.例5能否找到自然数 a和b,使a2=2002+b2?分析：直接去找很不容易,因此可以假设能找到自然数a和b,使a2=2002+b2成立,从这一个假设出发,找到a与b应满足的关系式或推出矛盾.解：假设能找到自然数 a和b,使a2=200
8、2+b2成立,贝U a2-b 2=2002,即(a+b)(a-b)=2 X 100仁奇数X偶数,而a+b与a-b的奇偶性相同,不可能是一奇一偶,所以假设不成立. 故知找不到自然数 a和b,使a2=2002+b2.例6 在10个容器中分别装了 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10毫升的水,每次 操作中由水多的甲容器向盛水少的乙容器注水,注水量恰好等于乙容器原有的水量.问： 能否在假设干次操作后,使5个容器都装有3毫升的水,其余容器分别装有6, 7,8, 9,10毫升的水？如果能,请说明操作顺序；如果不能,请说明理由.分析：从各个容器装水毫升数的奇偶性入手,分析每次操作所涉及的两个容器装水毫升
9、数的奇偶变化,从中挖掘不变量,找出规律,获得答案.解：用奇t偶表示把从装奇数毫升水的容器向装偶数毫升水的容器倒水.奇t奇,偶T奇,偶t偶的含义完全类似.由于一个自然数不是奇数就是偶数,所以每次操作,只有四种可能的情况：奇T偶奇T奇 偶T奇, 偶T偶对说,由于奇数-偶数=奇数,偶数+偶数=偶数,所以奇t偶这种操作不会改变这 两个容器装水毫升数的奇偶性.对说,由于偶数-奇数=奇数,奇数+奇数=偶数,所以偶t奇这种操作把这两个容 器装水毫升数的奇偶性做了对换,但它不改变10个容器中装奇数毫升水的容器的个数.对说,由于偶数-偶数=偶数,偶数+偶数=偶数,所以偶t偶这种操作不会改变这 两个容器装水毫升数
10、的奇偶性.对说,由于奇数-奇数=偶数,奇数+奇数=偶数,所以奇t奇这种操作把两个装奇 数毫升水的容器变为两个装偶数毫升水的容器.总结以上可知,进行一次操作后,10个容器中装奇数毫升水的容器的个数,或者没有变化,或者减少两个,从而进行假设干次操作后,装奇数毫升水的容器个数小于或等于原装奇数毫升水的容器个数.原装奇数毫升水的容器有5个,不管经过多少次操作,都不会使装奇数毫升水的容器变为7个.阅读材料战争中的数学撷趣(二)军事边缘参数是军事信息的一个重要分支,它是以概率论、统计学和模拟试验为根底,通过对地形、天侯、 波浪、水文等自然情况和作战双方兵力兵器的测试计算,在一般人都认为无法克服、甚至容易处
11、于劣势的险恶环境中,发现实际上可以通过计算运筹,利用各种自然条件的根本战术参数的最高极限或最低极限,如通过计算山地的坡度、河水的深度、雨雪风暴等驾驭战争险象,提供战争胜利的一种科学依据.1942年10月,巴顿将军率领 4万多美军,乘100艘战舰,直奔距离美国 4000公里 的摩洛哥,在11月8日凌时晨登陆.11月4日,海面上忽然刮起西北大风,惊涛骇浪使 舰艇倾斜达42.直到11月6日天气仍无好转.华盛顿总部担忧舰队会因大风而全军覆 没,电令巴顿的舰队改在地中海沿海的任何其他港口登陆.巴顿回电：不管天气如何,我将按原方案行动.11月7日午夜,海面忽然息浪静,巴顿军团按方案登陆成功.事后人们说这是
12、侥幸 取胜,这位“血胆将军拿将士的生命作赌注.其实,巴顿将军在出发前就和气象学家详细研究了摩洛哥海域风浪变化的规律和相关 参数,知道11月4日至7日该海域虽然有大风,但根据该海域往常最大浪高波长和舰艇 的比例关系,恰恰达不到翻船的程序,不会对整个舰队造成危险.相反,11月8日却是一个有利于登陆的好天气.巴顿正是利用科学预测和可靠边缘参数,抓住“可怕的时机,忽然出现在敌人面前.1. 在1,2, 3, 4,5,.99 , 100 这100个数之间,任意填上+,-运算符号和(), 运算结果能否得到 3219?解：由于任意两个自然数之和与差的奇偶性相同,因此无论怎样填加减号及 (),所得结果的奇偶性与
13、在这 100个数之间都填入加号所得结果的奇偶性一样. 都填入加号所 得的结果5050是偶数,而3219是奇数,奇数工偶数,因此无论怎样填,都不可能使运算结果是3219.2. 你能不能将自然数1到9分别填入以下3 X 3的9个方格中,使得每个横行中的三个数 的和都是偶数？解：由于每个横行中的三个数的和都是偶数,偶数+偶数+偶数=偶数因此,9个格中三个横行的的9个数的和是偶数.而这9个数的和恰好是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45是奇数, 奇数工偶数,所以不能将自然数1到9分别填入方格中,使得每个横行中的三个数的和都 是偶数.3. 把1, 2,99这99个自然数,任意排列成 a1, a2,.
14、a99,问(1-a1 )( 2-a2 ) (3-a3 )(99 - a99)是奇数还是偶数？分析：a1, a2,.ago是1, 2, 99的一个任意排列,虽然a1未必是1, a2未必是2,但它们的和是不变的：a1+a2+.+a99=1+2+99,可以让同学们先猜想(1-a 1)(2-a 2)(3-a 3)(99 - a99)的奇偶性.容易猜出应是偶数.下面用反证法说明.解：假设(1-a 1)(2-a 2) (3-a 3)(99 a99)是奇数,那么(1-a 1)、(2-a 2)、(3-a 3)、(99 - a99)这99个数中不能有偶数,都是奇数,这99个奇数的和还是奇数.但是(1-a 1)+
15、(2-a 2)+(3-a 3)+ +(99 - a99)= (1+2+99) - (a计a?+.+a99)=0 是偶数.因此假 设(1-a 1) (2-a 2) (3-a 3)(99 - a99)是奇数不成立.即 (1-a 1) (2-a 2) (3-a 3)(99-a99)是偶数.4. 把以下图中的圆圈涂上红色或蓝色.问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？为什么?分析：先假设每条线上的红圈数都是奇数,在这样的假设下,采用两种数红圈数的方法数,得出的两个结果不等,从而推出矛盾.否认原的假设.解：假设每条线上的红圈都有奇数个,那么5条线上的红圈数相加仍是奇数.但另一方面,5条线上的红圈数加时,由于每一个红圈都在两条线上,因而都被计算了两次,从 而相加的总和应当是偶数.由于奇数工偶数,所以不可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数.5有一串数,最前面的 4个数依次是1 , 9, 8, 7 ,从第5个数起,每一个数都是它前 面相邻4个数和的个位数字.问在这串数中,会依次出现2,
