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1、常见递推数列通项公式的求法 20XX年 和田师范专科学校学报(汉文综合版) 常见递推数列通项公式的求法郭冠群(兰州职业技术学院X省兰州730070)利用化归思想求数列的通项公式是中学数学的难点，也是高考的考点之一。本文通过近几年的高考题，介绍几种常见递推数列求通项公式的方法。递推数列；通项公式；化归思想题型一：an+1=kan+b型(1)k=1时，an+1an=ban是等差数列， Jul.20XX第29卷第三期总第65期【答案】a=1(nN)。nn(4)已知数列an满意an+1=2(n+1)5nan,a1=3,求数 列an的通项公式。解：因为an+1=2(n+1)5nan,a1=3,所以an0
2、,则a3a2aaan+1=2(n+1)5n,则：an=nn1a1anan1an2a2a1=3+2+1 =2 n1 5 (n1)+(n2)+ 3,所以数列an的 通项公式为：an=32n15 n(n1)2 n! an=bn+(a1b);(2)k1时，设an+1+m=k(an+m),an+1=kan+kmm。比较系数：kmm=b,m=bk1b。an+b是等比数列，k1k1 man1an=kim+an1题型三： 型=111,111,令+)=+(kan1mankan1km 考虑函数倒数关系有1ancn= 1,则c可归为an+1=kan+b型。nan 【例题3】(08X省卷22)已知数列an的首项a=3
3、,15 公比为k,首项为an+an=(a1+ bb=(a1+)kn1an+k1k1, bb)kn1k1k1。 3an,n=1,求a的通项公式。2,nan+1=2an+13an,121,1解：an+1=2an+1an+1=3+3anan+1 ,又111=13an 【例题1】(1)20XX年X省卷)已知数列an满意(a1=1,an+1=2an+1(nN*),求数列an的通项公式。 解：an+1=2an+1(nN*),an+1+1=2(an+1),an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列。an+1=2n。an=2n1(nN*)。 12,1是以2为首项，1为公比的等比数列，1=133an3a
4、nn11=2i1=2,an=3。3n+2an33n13n 题型四：两边取对数2【例题4】(02X市)若数列an中，a1=3,且an+1=an(n是 (2)an+1=kan+b型，其中k1,可化归为等比数列)(07,正整数),则数列的通项an=_。2解析：an+1=an,(nN),a1=31, 全国卷,理)已知数列an中a1=2,an+1=(21)(an+2),an1,log2an0,log2an+1=2log2an, n=1,3,.求an的通项公式。2, 设bn+1=log2an+1,bn=log2an,则bn+1=2bn, 解：由题设：an+1=( 21)(an+2)=(21)(an2)+(
5、21)(2+2) 所以，数列an2=(21)(an2)+2,an+12=(21)(an2)。首项为22,公比为21的等比数列，an的通项公式为an=2(21)n+1,n 是n n1bn=2n1log23=log232, log2an=2n1log23=log232,an=32。 n1 n1 2=2(21)n,a即 题型五：特征根法形如a1=m1,a2=m2,an+2=pan+1+qan(p,q是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an,其特征方程为 =1,3,2, 题型二：an+1=f(n)an型(1)若f(n)是常数时，可归为等比数列。(2)若f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通
6、项。【例题2】(1)若an+1=3an且a1=3,求an的通项。解析：an+1=3an且a1=3,an0,所以an是以a1=3为首项，q=3为公比的等比数列，an=3n。(2)已知：a=1,a=2n1a(n2),求数列an的1nn132n+1通项。解析：anan1an2a3a22n12n32n5=an1an2an3a2a12n+12n12n331an=a1=2n+12n+1。 x2=px+q若有二异根,则可令an=c1n+c2n(c1,c2是待定常数);若有二重根=,则可令an=(c1+nc2)n(c1,c2是待定常数);再利用a1=m1,a2=m2,可求得c1,c2,进而求得an。【例题5】
7、已知数列an满意：a1=2,a2=3,an+2=3an+12an(nN*),求数列an的通项an。 533=752n+1 解：其特征方程为x2=3x2,解得x1=1,x2=2,令c=1由得1,an=1+2n1。an=c11n+c22n,a1=c1+2c2=2,1a2=c1+4c2=3c2=2Snann (3)设an时首项为1的正项数列，且22(n+1)an+1nan+an+1an=0(nN+),则其通项公式an=_。 【例题6】(07,X省，数列an的前n项和为Sn,a1=1,文) 题型6:前项和 和通项 之间的递推关系 195 20XX年和田师范专科学校学报（汉文综合版）Jul.20XX第2
8、9卷第三期总第65期 三个特别有限维线性空间基的判定法 吐逊江阿不来提布海丽且木阿不都热依木 （和田师专数学系X省和田848000） a11k1+a21k2+.+an1kn=0本文利用有限维线性空间基的有关理论和行列式，推出特别 组n 线性空间P，Pn及pmn基的详细判别法。a12k1+a22k2+.+an2kn=0。这个齐次线性方程组只有 .线性空间；基；维数 a21 a22.a2n .an1 .an2 0 .ann a1nk1+a2nk2+.+annk=0基是生成线性空间的生成元，是构成线性空间的基本因素。确 a11定了线性空间的一个基，就是确定了这个线性空间。因此研究线性 零解得充分必要
9、条件是系数行列式空间的关键在于研究它的一个基。a12 本文介绍有限维线性空间Pn，Pn及pmn的基的判别法。. a1n 一、几个有关定理 定理1在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都是因此向量组1=(a11,a12,.a1n),2=(a21,a22,.,a2n)，V的一个基。n=(an1,an2,.,ann)线性无关充分必要条件是： (,),nn是线性空间V的基，且12定理2设12 a11a21.an1 =(1,2,n)A，则1,2,n是V的一个基的充要条件是矩阵a12a22.an2 0 A=(aij)nn可逆。. a1na2n.ann定理3设f是有限维线性空间V到有限维线性空间W的一
10、依据定理1，线性空间Pn的向量组=(a,a,.a),个同构映射，那么V中向量组1,2,n是V的一个基W中向 1 11 12 1n 2 量组f(1),f(2),.,f(n)是W的一个基。 定理1和定理2是课本上的定理，我只证明定理3。 证：因为有V到W的同构映射f，所以VW， =(a21,a22,.,a2n),n=(an1,an2,.,ann)是P的一个基的充 n a11 分必要条件是a12 a21a22.a2n .an1.an2.ann 0 dimW=dimV=n。 设k1f(1)+k2f(2)+.+knf(n)=0，据同构映射性 质得f(k11+k22+.knn)=0，k11+k22+.kn
11、n=0；因为向量组1,2,n线性无关，故k1=k2=.=kn=0。故f(1),据定理1得f(1),f(2),.,f(n)是Wf(2),.,f(n)线性无关。 的基。反之设k11+k22+.knn=0，则：f(k11+k22+.knn)=f(0)=0，即k1f(1)+k2f(2)+.+knf(n)=0；因为向量组 f(1),f(2),.,f(n)线性无关，所以k1=k2=.=kn=0。因此1,2,n线性无关。依据定理1得1,2,n是的V基。 .a1n 结论2线性空间Pn的向量组： f1(x)=a11+a12x+a13x2+.+a1nxn1，f2(x)=a21+a22x+a23x2+.+a2nxn
12、1， fn(x)=an1+an2x+an3x2+.+annxn1是Pn的一个基 a11 的充分必要条件是a12 a21a22.a2n .an1.an2.ann 0 二、维线性空间P，Pn及p n mn 的基的判定法 .a1n 结论1线性空间P的向量组1=(a11,a12,.a1n),2= n (a21,a22,.,a2n),n=(an1,an2,.,ann)是P的一个 n 证：我们知道向量组1,x,.,xn1是Pn的基，且 a11a12 (f1(x),f2(x),.,fn(x)=(1,x,.,xn1). a1n a21a22.a1n .an1 .an2. .ann a11 基的充分必要条件是a 12 .a1n a21a22.a2n .an1.an2.ann 0 证：设k11+k22+.knn=0，(a21a22.a2n)+.kn k1a11 ( a12 .a1n+k2(an1 )an2.ann)=0，得齐次线性方程 a11 矩阵 a12.a1na21a22.a1n.an
