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1、数学竞赛筑阶系列讲座初等数论之二讲解人：凌 彬姓名专题二：奇数与偶数一、基本知识奇数的特征：它被2除得的余数是1；即任何奇数都是的形式，其中偶数的特征：它被2除得的余数是0；即任何偶数都是的形式，其中奇数与偶数的一个最明显的性质是：任何奇数决不会与一个偶数相等奇数与偶数还有几条运算性质：1奇数与奇数的和是偶数；2奇数与偶数的和是奇数；3偶数与偶数的和是偶数；4奇数与奇数的积是奇数；5奇数与偶数的积是偶数；6偶数与偶数的积是偶数几个常用的结论：1两个连续整数的积是偶数； 2整数的幂与奇偶性相同；3整数和有“”与“”的奇偶性相同这些性质都是很平凡的，但灵活地应用它们却能解决许多问题，包括看上去“无
2、从下手”的问题；下面给出的一些例子，解答除了应用奇偶性之外，还包含了一些非常有用的解题思想；利用奇偶性解题的方法叫奇偶性分析法这个方法是数学竞赛中特别活跃的方法之一二、例题选讲例1证明：不存在整数、满足：例2证明：不是有理数例3证明：不存在这样的整数、，使得、都是奇数例4证明：改变一个自然数各位数码的顺序后得到的数，与原数之和不能等于例5设是正整数，任意改变这九个数顺序后记为；证明：是偶数例6平面上有15个点，任意三点都不在一条直线上，试问：能不能从每个点都引三条线段，且仅引三条线段和其余的某三点相连？证明你的结论例7已知一奇数，使得整系数二次三项式的值也是奇数，其中是奇数；求证：方程没有奇数
3、根例8圆周上有1989个点，给每一个点染两次颜色：或红、蓝，或全红，或全蓝；最后统计知；染红色1989次，染蓝色1989次试证：至少有一点被染上红、蓝两种颜色例9黑板上写着三个整数，任意擦去其中的一个，将它改写成为其它两数的和减去1；这样继续下去，最后得到19，2007，2009，问原来的三个数能否是2，2，2例10桌上有7只茶杯，杯口全部朝上，每次“运动”是指将其中的4只茶杯同时翻转；问：能否经过若干次运动使杯口全部朝下？例11一个展览馆有26间展览室（如图），图中每个方格代表一间展览室，每相邻的两间展览室都有门相通，出口入口在图中所示之处；问能否找到一条入口到出口的参观路线，使得不遗漏又不
4、重复地走过每一间展览室？例12设有一张的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色下面对涂了色的方格纸实施“操作”；每次操作都是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色；问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？例13若两人互相握手，则每人都记握手一次，求证：握手是奇数次的人的总数一定是偶数三、巩固练习1设都是整数，求证：都是偶数2若某正整数的各位数码在适当改变顺序后所得的数与之和等于，证明：3设有整数，使，求证：4如图，给定两张方格纸，并且在每一方格内填上“”或“”号如图，现在对方格纸中任何一行或一列作全部变号的操作，问可否经过若干次操作，使图（1）变成图（2）？5试证：找不到两个正整数，使其差与和的乘积等于20106设有盏亮着的拉线开关灯，规定每次必须拉动个拉线开关；试问：能否把所有的灯都关闭？证明你的结论或给出一种关灯的办法
