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1、第2章系统的数学模型（习题答案）什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、 特性、输出与输入关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间 模型等。什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是 它满足叠加原理。图（题 中三图分别表示了三个机械系统。 求出它们各自的微分方程，图中Xi表示输入位 移，Xo表示输出位移，假设输出端无负载效应。题图解：图（a）:由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得打_-小整理得将上式进行拉氏变换，并注
2、意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得既j Ur-3：.：于是传递函数为儿（）%ms + 5+0图（b）:其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点 A,并设A点位移为X,方向朝下； 而在其下半部工。引出点处取为辅助点 Bo则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从 A和B两 点可以分别列出如下原始方程：*乂吃-*）二一福3口二W消去中间变量x,可得系统微分方程d”。(桁+描七/二对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为E冰漳为(3二仃(*;十心阳力图(c):以/的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程:4打一 并#)二 AfldxodXf移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏
3、变换，并注意到运动由静止开始，即xz(0)=分9) = 0则系统传递函数为X4 6CS，%商二的+ Kf + K3试建立下图(题图)所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电 压%(t)和位移(t)为输入量；电压L(t)和位移X/t)为输出量；k,k1和k2为弹簧弹性系数;f为阻尼系数。O-Rio-Xr (t)Ur(t)Uc(t)(c)kXc(t)XXZZ(b)f(d)【解】：（a）方法一：设回路电流为i ,根据克希霍夫定律，可写出下列方程组:ur消去中间变量，整理得:方法二:UcUTs!RR CsucC Ridtuccdue RCc dtRCsRCs1（b）由于无质量，各受
4、力点任何时刻均满足ucdur RC dt“duc RC dt0,则有:f dxc xc k dtucdur RC dtdxrk dtUc(s) (c) Ur(S)R2R1R21Cs1CsR2CS 1R R2 Cs 1ucdurr2curdt（d）设阻尼器输入位移为Xa,根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程k(xr xc) k2(xr Xa)dxak2(xc xa) f- dtki k2 f dxck1k2出结论：（a）、（b）互为相似系统,(c)、试求下图（题图）所示各电路的传递函数f dxrXck2 dtXr（d）互为相似系统。四个系统均为一阶系统。R1-t z.2R题图【解】：可利用复阻
5、抗的概念及其分压定理直接求传递函数，1Uc(s) (CS R2)/LsR2LCR2S2丽 R (工 R2)/Ls - R2 (R R2)LCs2(RiR2c C1s R 11(R )/ R R CsC2sCs)s CsCsR/-Uc(s)1 UsUr(s)(R)R2C1sC2sRR2GC2S2 (R1C1 RCz)s 1RR2C1C2S2(RC1 RC2 RCz)s 11/(R2 Ls)U)CsUr R1 /(R2 Ls)Cs1(d) UcS)C2sUr(R 工) R 1Gs C2sR2 Ls Z_2 Z RLCs2 (RR2C L)s R R21(R )/ R_ 22R2C1c2s22RC1
6、s 1_ 2_ _2 .R C1C2s(2RC1 RC2)s 1求图（题图 所示两系统的微分方程。解（1）对图（a）所示系统，由牛顿定律有ffjy（t） + Ay（t） = ft）（2）对图（b）所示系统，由牛顿定律有 ,-AXt=加（七）其中我也求图（题图 所示机械系统的微分方程。图中 M为输入转矩，Cm为圆周阻尼，J为转动惯 量。圆周半径为R,设系统输入为M（即Mt）,输出为d （即84），题图解：分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下:M - J e +* RkR8 - X）4（/? & - x） - mx -f- gx消除中间变量x,即可得到系统动力学方程+k + +k(c
7、 + +k( + + +kkc+ kC) e + G)日=疝在以/ + A他求图（题图所示系统的彳递函数（f为输入，y2为输出）解分别对由，m进行受力分析，列写其动力学方程有:一- 0.3 -/） - 工: - y/） - k外=加（7对上两式分别进行拉氏变换有旦5）- G2sYs - g7s XXs）一 力 1 二和，以$）:白5|5）-打|=叫决51GQ）若系统传递函数方框图如图(题图所示，求:(1)以R(s)为输入，当N(s) = 0 传递函数。时，分别以C(s), Y(s) , B(s) , E(s)为输出的闭环(2)以N(s)为输入，当R(s) = 0 传递函数。时，分别以C(s),
8、 Y(s) , B(s) , E(s)为输出的闭环 比较以上各传递函数的分母,从中可以得出什么结论。凡5）tn即6 + 皿（6 4 oJW + 向M 4 SG*上 * A（G1 + Q?）题图题图解(1)以/?(G为输入，当N(1)=0时：右以49为轴出，有启)-弁餐)-F f ”“叙”用/ ，、 /触心向右以Y( 5)为输出，有 今(筝)二福二TT区丽丽两8iWG 式香G(QK“若以B(s)为输出，有G式硝二加二:*以“斤/右以旦。为轴出，有唾一月用一翅)做怅J(2)以N(s)为输入，当R($)=0时：一一一，.，、_心侬 彷/右以。弓为轴出，有 &c(5) -鞭 - T +力仆)织0步._
9、 F旬-做外以句开.右以Y( S)为轴出，有G/-的一 F *心心)以名一、一、，、_右以B(田为轴出，有G-的-”“叙(T用幻”、._-0内|右以旦5)为轴出，有备- 6仆州用切(3)从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数分母保持不 变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性，而与外界无关求出图(题图2 .10)所示系统的传递函数X0(S)/Xi(S)。解方法一：利用公式()，可得元(s)GMKsGGg(s) 必(s) f -。遂志杰承3 * 声卡? G戏也/ G旅也方法二：利用方框图简化规则，有
10、图(题)%(s)聿的0f4Gb(s) 必(s)7 - G$G褥6承3 * 06我- G再同手G?也求出图（题图2 .11）所示系统的传递函数X0（S）/Xi（S）解根据方框图简化的规则，有图（题）X46再34Ge（S）=/=1十G毋+勃饴-G/G#/%题图图（题图2 .12）所示为一个单轮汽车支撑系统的简化模型。mi代表汽车质量，B弋表振动阻尼器，Ki为弹簧，m2为轮子的质量，l为轮胎的弹性，试建立系统的数学模型。题图问题2质点振动系统。这是一个单轮汽车支撑系统的简化模型。色代表汽车质量，B代表振动阻尼器，任为弹簧，为轮子的质量，为为轮胎的弹性，建立质点平移系统数学 模型。8打2 /八 ,、的
11、10 -气能-法）-Q 饺?拉氏变换：叫，心）= %（5）-刈（$） - K/Xg 力（5”=巴5）-熊%5）-力-叔5）-双胡-K（s）(mjs? - K1)为(s) -(8s + /)为(s) - C-(& 同“卡 的*(9+)以5)二FgBs # KiF(s)依）叫mN *反叫+(K；叫4吊沔2 + K尹)s + K2Bs / KK用”+ BS -f- KjF例畋J +反协+疥， * (的用/ + Kmz + K前s + K；5 + K；Ky液压阻尼器原理如图（题图所示。其中，弹簧与活塞刚性联接，忽略运动件的惯性力，且设Xi为输入位移，Xo为输出位移，k弹簧刚度，c为粘性阻尼系数，求输出
12、与输入之间的传递函数。题图解：1）求系统的传递函数活塞的力平衡方程式为kxoc3xixo经拉氏变换后有kXo(s)csXi(s) Xo(s)解得传递函数为G(s)Xo(s)TsXi(s) Ts 1式中，T RC为时间常数由运算放大器组成的控制系统模拟电路图如图（题图所示，试求闭环传递函数Uc（S）/Ur（S）解:曲号）UuZ为(号)-=式（1） （2） （3）左右两边分别相乘得以5）%，所以:LfM44G（T份+ 1）C?sRo + R 隔某位置随动系统原理方块图如图(题图所示。已知电位器最大工作角度max 3300,功率放大级放大系数为K3,要求：(1)分别求出电位器传递系数K。、第一级和第
13、二级放大器的比例系数 K1和K2；(2)画出系统结构图；(3)简化结构图，求系统传递函数o(s)/ i(s);解:(1)制二方条3=2 =条2(2)9式句二/(切一 d5)q(s)二桁式$图句-rnMs)4（。-斤式 $） + &5/式5）+ &0）能（$） - &A（S）/8习# &84句二以&2 一眺心)&(5)二心&As)系统结构图如下:(3)系统传递函数8 As & j（s）Q5 (Lss + RJ (Js + f)仪f万7 s (L9s + Rj Qs + f)Gn$ (L$s + Rs) (Js + f) * 5 喇,+匕Mbs (L9s * Rj (Js * f)K品s 1启Qs 7打工二*必- sQs-用JM *舟+加442+ R，J5十A + C晶子心的伏&设直流电动机双闭环调速系统的原理图如图（
