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1、考点17 推理与证明 1.（2010山东高考文科）观察，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（ ）（A） (B) (C) (D)【命题立意】本题考查归纳推理的有关知识，考查了考生的观察问题，分析问题，解决问题的能力.【思路点拨】观察所给的结论，通过归纳类比联想，得出结论.【规范解答】选D通过观察所给的结论可知，若是偶函数，则其导函数是奇函数，故选D2.（2010陕西高考理科）观察下列等式：,根据上述规律，第五个等式为 _.【命题立意】本题考查归纳推理，属送分题【思路点拨】找出等式两边底数的规律是解题的关键【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：
2、即左边底数的和等于右边的底数，故第五个等式为：【答案】 3.（2010福建高考文科）观察下列等式：可以推测，m n + p = .【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解【思路点拨】根据归纳推理可得 【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，又， 【答案】9624.（2010浙江高考理科14）设，将的最小值记为，则其中=_ .【命题立意】本题考查合情推理与演绎推理的相关知识，熟练掌握相关的推理规则是关键【思路点拨】观察的奇数项与偶数项的特点【规范解答】观察表达式的特点可以看出，当为偶数时，；，当为奇数时，【答案】5.（2010北京高考文科20）已知集合，对于，定义A与B
3、的差为，A与B之间的距离为.（1）当n=5时，设，求，.（2）证明：，且.（3） 证明：三个数中至少有一个是偶数.【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力.本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求.要求教师真正重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”“创新能力”的培养【思路点拨】（1）（2）直接按定义求解证明即可.(3) “至少”问题可采用反证法证明【规范解答】（1）（1,0,1,0,1），3.(2)设，所以中1的个数为k,中1的个数为，设是使成立的的个数，则，由此可知，三个数不可能都是奇数，即三个数中至少有一个是偶数 6.（2010北京高考理科20）已知集合，
4、对于，定义A与B的差为 A与B之间的距离为.（1）证明：，且.（2）证明：三个数中至少有一个是偶数.(3) 设P，P中有m(m2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P). 证明：（P）.【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力，考查了反证法、不等式证明等知识本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求要求教师真正重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”“创新能力”的培养【思路点拨】（1）直接按定义证明即可（2）“至少”问题可采用反证法证明(3)把表示出来，再利用基本不等式证明【规范解答】（1）设， 因为，所以 ， 从而， 又,由题意知，.当时，; 当时，,所
5、以.(2)设，, ，. 记，由（1）可知, ， , , 所以中1的个数为，中1的个数为 设是使成立的的个数，则, 由此可知，三个数不可能都是奇数， 即,三个数中至少有一个是偶数（3）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，设中所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0,则,由于,所以,从而.【方法技巧】（1）证明“至少有一个”时，一般采用反证法（2）证明不等式时要多观察形式，适当变形转化为基本不等式7.（2010江苏高考23）已知ABC的三边长都是有理数，求证：cosA是有理数.（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数.【命题立意】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能
6、力与分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】（1）利用余弦定理表示cosA，由三边是有理数，求得结论.（2）可利用数学归纳法证明.【规范解答】方法一：（1）设三边长分别为，是有理数，是有理数，分母为有理数，又有理数集对于除法具有封闭性，必为有理数，cosA是有理数.（2）当时，显然cosA是有理数；当时，因为cosA是有理数， 也是有理数.假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数，当时，解得：，cosA，均是有理数，是有理数，是有理数，即当时，结论成立.综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数.方法二：（1）由AB，BC，AC为有理数及余弦定理知，是有理数.（2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数，当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数.假设当时，和都是有理数.当时，由，由和归纳假设，知和都是有理数，即当时，结论成立.综合、可知，对任意正整数n，cosnA是有理数.
