大学物理(第四版)课后习题及答案-机械振动

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除13 机械振动解答13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.010-2m，周期T=1.0s，初相j=3/4。试写出它的运动方程，并做出x-t图、v-t图和a-t图。13-1分析 弹簧振子的振动是简谐运动。振幅A、初相、角频率是简谐运动方程的三个特征量。求运动方程就要设法确定这三个物理量。题中除A、已知外，可通过关系式确定。振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。 解 因，则运动方程根据题中给出的数据得振子的速度和加速度分别为x-t、v-t及a-t图如图13-l所示13-2 若简谐运动方程为，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；

2、（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。13-2分析 可采用比较法求解。 将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式作比较，即可求得各特征量。 运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果。 解 （l）将与比较后可得：振幅A= 0.10 m，角频率，初相，则周期 ，频率。 （2）t= 2s时的位移、速度、加速度分别为13-3 设地球是一个半径为R的均匀球体，密度5.5103kgm-3。现假定沿直径凿一条隧道。若有一质量为m的质点在此隧道内做无摩擦运动。（1）证明此质点的运动是简谐振动；（2）计算其周期。13-3分析 证明方法与上题相似。 分析质点在隧道内

3、运动时的受力特征即可。 证（l）取图13-3所示坐标。 当质量为m的质点位于x处时，它受地球的引力为式中G为引力常量，mx是以x为半径的球体质量，即。令，则质点受力因此，质点作简谐运动。 （2）质点振动的周期为13-4 如图所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1和k2，物体在光滑斜面上振动。（1）证明其运动仍是简谐振动；（2）求系统的振动频率。13-4分析 从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）。 为此，建立如图13-4（b）所示的坐标。 设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O，Ox轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，

4、沿Ox轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力。 利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率。 证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、x2，则由物体受力平衡，有按图（b）所取坐标，物体沿x轴移动位移x时，两弹簧又分别被拉伸和，即。 则物体受力为将式（1）代人式（2）得由式（3）得，而，则得到式中为常数，则物体作简谐运动，振动频率讨论（1）由本题的求证可知，斜面倾角对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响。 事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动。 而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决

5、定，这就是称为固有频率的原因。 （2）如果振动系统如图13-4（c）（弹簧并联）或如图13-4（d）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为读者可以一试。 通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的13-5 为了测得一物体得质量m，将其挂在一弹簧上让其自由振动，测得振动频率。而将另一质量的物体单独挂在该弹簧上时，测得振动频率。设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量。13-5分析 物体挂在弹簧上组成弹簧振子系统，其振动频率，即。采用比较频率的方法可求出未知物体的质量。 解 由分析可知，则有。 根据题中绘出的数据可得物体的质量为13-6 在如

6、图所示的装置中，一劲度系数为k的弹簧，一端固定在墙上，另一端连接一质量为m1的物体A，置于光滑水平桌面上。现通过一质量为m、半径为R的定滑轮B（可视为匀质圆盘）用细绳连接另一质量为m2的物体C，设细绳不可伸长，且与滑轮间无相对滑动，求系统的振动角频率。13-6分析 这是一个由弹簧、物体A、C和滑轮B组成的简谐运动系统。 求解系统的振动频率可采用两种方法。 （1）从受力分析着手。 如图13-6（b）所示，设系统处于平衡状态时，与物体A相连的弹簧一端所在位置为坐标原点O，此时弹簧已伸长x0，且。 当弹簧沿Ox轴正向从原点O伸长x时，分析物体A、C及滑轮B的受力情况，并分别列出它们的动力学方程，可解

7、得系统作简谐运动的微分方程。 （2）从系统机械能守恒着手。 列出系统机械能守恒方程，然后求得系统作简谐运动的微分方程。 解1 在图13-6（b）的状态下，各物体受力如图13-6（c）所示。 其中。 考虑到绳子不可伸长，对物体A、B、C分别列方程，有(1) (2)(3)(4)方程（3）中用到了。 联立式（l）-式（4）可得则系统振动的角频率为 解2 取整个振动装置和地球为研究系统，因没有外力和非保守内力作功，系统机械能守恒。 设物体平衡时为初始状态，物体向右偏移距离X（此时速度为对、加速度为a）为末状态，则由机械能守恒定律，有在列出上述方程时应注意势能（重力势能和弹性势能）零点的选取。 为运算方

8、便，选初始状态下物体C所在位置为重力势能零点；弹簧原长时为弹性势能的零点。 将上述方程对时间求导得将代人上式，可得式（6）与式（5）相同，表明两种解法结果一致。17-7 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A=2.010-2m,周期T=0.50s。当t=0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置向负方向运动；（3）物体在.x=1.010-2m处，向负方向运动；（4）物体在.x= -1.010-2m处，向正方向运动。求以上各种情况的运动方程。13-7分析 在振幅A和周期T已知的条件下，确定初相中是求解简谐运动方程的关键。初相的确定通常有两种方法。（1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，

9、即t= 0时， x= xo和来确定值。 （2）旋转矢量法：如图 13-7（a）所示，将质点P在Ox轴上振动的初始位置x0和速度v0的方向与旋转矢量图相对应来确定。 旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用。 解 由题给条件知 ，而初相可采用分析中的两种不同方法来求。 解析法：根据简谐运动方程，当 t0时有，。 当 （1） （2） （3） （4） 旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转关量图，如图13-7（b）所示，它们所对应的初相分别为，。 振幅A、角频率、初相均确定后，则各相应状态下的运动方程为 （1） （2） （3） (4）13-8 有一弹簧，当其下端挂一质量为m的物体时，伸长量为9.

10、810-2m。若使物体上下振动，且规定向下为正方向。（1）t=0时，物体在平衡位置上方8.010-2m处，由静止开始向下运动，求运动方程。（2）t=0时，物体在平衡位置并以0.60m/s的速度向上运动，求运动方程。13-8分析 求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A、，和。 其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m及弹簧劲度系数k）决定的，即，可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A和初相需要根据初始条件确定。 解 物体受力平衡时，弹性力F与重力P的大小相等，即F=mg。 而此时弹簧的伸长量。 则弹簧的劲度系数。 系统作简谐运动的角频率为 （1）设系统平衡时，物体所在

11、处为坐标原点，向下为x轴正向。 由初始条件t=0时，可得振幅；应用旋转矢量法可确定初相。图 13-8（a）。 则运动方程为 （2）t=0时，同理可得，；图 13-8（b）。 则运动方程为13-9 某振动质点的x-t曲线如图所示，试求：（1）运动方程；（2）点P对应的相位；（3）到达点P相应位置所需要的时间。13-9分析 由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题。 本题就是要通过x-t图线确定振动的三个特征量量A、，和，从而写出运动方程。 曲线最大幅值即为振幅A；而、通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便 解 （1）质点振动振幅A0.10 m。

12、而由振动曲线可画出t=0和t=4s时旋转矢量，如图13-9（b）所示。 由图可见初相，而由得，则运动方程为 （2）图14-9（a）中点P的位置是质点从A/2处运动到正向的端点处。 应的旋转矢量图如图 13- 10（C）所示。 当初相取时，点 P的相位为（如果初相取，则点P相应的相位应表示为）。 （3）由旋转关量图可得则13-10 在一块平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0kg的重物。现使平板沿竖直方向做上下简谐运动，周期为0.50s，振幅为2.010-2m。求：（1）平板到最低点时，重物对平板的作用力；（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？（3）若振幅不变，则平板以多大

13、的频率振动时，重物会跳离平板？13-10分析 按题意作示意图13-10。 物体在平衡位置附近随板作简谐运动，其间受重力P和板支持力FN作用，FN是一个变力。 按牛顿定律，有（l） 由于物体是随板一起作简谐运动，因而有，则式（l）可改写为（2） (1）根据板运动的位置，确定此刻振动的相位 ，由式（2）可求板与物体之间的作用力。 （2）由式（2）可知支持力FN的值与振幅A、角频率和相位有关。 在振动过程中，当时FN最小。而重物恰好跳离平板的条件为FN=0，因此由式（2）可分别求出重物跳离平板所需的频率或振幅。 解 （l）由分析可知，重物在最低点时，相位，物体受板的支持力为重物对木块的作用力与FN大

14、小相等，方向相反。 （2）当频率不变时，设振幅变为。 根据分析中所述，将FN=0及代入分析中式（2），可得 （3）当振幅不变时，设频率变为。 同样将FN0及代入分析中式（2），可得13-11 一物体沿x轴做简谐运动，振幅为0.06m，周期为2.0s，当t=0时位移为0.03m，且向x轴正方向运动。求：（1）t=0.5s时，物体的位移、速度和加速度；（2）物体从x= -0.03m 处向x轴负向运动开始，到平衡位置，至少需要多少时间？13-11分析 已知运动方程即可求物体的位移、速度、加速度。 因此，写出运动方程是本题的关键。 其方法可参见题13-7。 至于质点从x=-0.03 m运动到 x0处所

15、需的最短时间，仍可采用解析法或旋转矢量法求解。 解 （1）由题意知A=0.06m、由旋转矢量图13-11（a）可确定初相则振动方程为当t=0.5s时质点的位移、速度、加速度分别为 （2）质点从x=-0.03 m运动到平衡位置的过程中，旋转关量从图 13-11（b）中的位置M转至位置N，矢量转过的角度(即相位差）。该过程所需时间为13-12 两质点做通频率、同振幅的简谐运动。第一个质点的运动方程为，当第一个质点自振动正方向回到平衡位置时，第二个质点恰在振动正方向的端点。试用旋转矢量图表示它们，并求第二个质点的运动方程及它们的相位差。13-12解 图13-12为两质点在特定时刻t的旋转矢量图，OM表示第一个质点振动的旋转矢量；ON表示第二个质点振动的旋转矢量。 可见第一个质点振动的相位比第二个质点超前，即它们的相位差。第二个质点的运动方程应为13-13 有一单摆，长为1.0