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1、目 录第7章 向量代数与空间解析几何11 向量及其线性运算1一、向量的概念1二、向量的线性运算2习题 7-142 向量的坐标5一、空间直角坐标系与点的坐标5二、向量的坐标表达及其线性运算的坐标表达7三、向量的方向角与方向余弦10习题 7-2113 向量与向量的乘法运算12一、向量的数量积12二、向量的向量积14三、向量的混合积16习题 7-3184 平面及其方程18一、平面的方程19二、两平面的夹角及点到平面的距离21习题 7-4235 空间直线及其方程23一、空间直线方程23二、两空间直线的夹角25三、直线与平面的夹角及平面束26习题 7-5286 空间曲面和空间曲线29一、曲面及其方程29
2、二、空间曲线及其方程34三、二次曲面及其方程简介37习题 7-639总 习 题 七40第8章 多元函数微分学及其应用421 多元函数的极限与持续42一、平面点集与维空间42二、二元函数的概念45三、二元函数的极限47四、二元函数的持续50习题 8-1522 偏导数与全微分53一、偏导数53二、全微分60习题 8-2673 多元函数微分法69一、复合函数微分法69二、隐函数微分法77习题 8-3834 方向导数与梯度85一、方向导数85二、梯度88习题 8-4895 多元函数微分学在几何上的应用90一、空间曲线的切线与法平面90二、曲面的切平面与法线95习题 8-5986 多元函数的极值与最值9
3、9一、多元函数的极值99二、多元函数的最值103三、条件极值104习题 8-61107 二元函数的泰勒公式110习题 8-7113总 习 题 八113第9章 重积分1151 二重积分的概念及性质115一、两个实例115二、二重积分的定义117三、二重积分的几何意义118四、二重积分的性质118习题 9-11202 二重积分的计算121一、直角坐标系下二重积分的计算121二、极坐标系下二重积分的计算128习题 9-21373 三重积分139一、三重积分的概念139二、直角坐标系下三重积分的计算141三、柱面坐标系下三重积分的计算145四、球面坐标系下三重积分的计算147习题 9-31494 重积
4、分的应用151一、几何应用151二、物理应用154习题 9-4161总 习 题 九162第10章 曲线积分与曲面积分1641 对弧长的曲线积分164一、对弧长的曲线积分的概念与性质164二、对弧长的曲线积分的计算166习题 10-11702 对坐标的曲线积分171一、对坐标的曲线积分的概念与性质171二、对坐标的曲线积分的计算174三、两类曲线积分之间的联系178习题 10-21803 格林公式及其应用182一、格林公式182二、平面上曲线积分与途径无关的条件187三、全微分准则190习题 10-31944 对面积的曲面积分195一、对面积的曲面积分的概念与性质195二、对面积的曲面积分的计算
5、197习题 10-42005 对坐标的曲面积分201一、对坐标的曲面积分的概念与性质201二、对坐标的曲面积分的计算204三、两类曲面积分之间的联系207习题 10-52106 高斯公式与斯托克斯公式211一、高斯公式211二、斯托克斯公式214三、物理应用218习题 10-6220总 习 题 十222第11章 无穷级数2261 常数项级数的概念及性质226一、常数项级数的概念226二、收敛级数的基本性质229习题 11-12322 常数项级数的敛散性233一、正项级数及其敛散性233二、交错级数及其敛散性244三、绝对收敛与条件收敛246习题 11-22493 幂级数250一、函数项级数的概
6、念250二、幂级数及其敛散性251三、幂级数的运算及其和函数的性质255习题 11-32594 函数展开为幂级数259一、泰勒级数260二、函数展开为幂级数262习题 11-42695 函数的幂级数展开式的应用269一、函数值的近似计算269二、计算定积分的近似值271三、欧拉公式272习题 11-52736 函数展开为傅里叶级数273一、周期函数的傅里叶级数274二、非周期函数的傅里叶级数283习题 11-6287总 习 题 十 一287第12章 常微分方程2901 微分方程的基本概念290一、微分方程的概念290二、微分方程的解292三、初值问题292四、积分曲线293习题 12-1293
7、2 一阶微分方程294一、变量可分离方程294二、齐次方程297三、一阶线性方程298四、全微分方程302习题 12-23063 二阶微分方程306一、可降阶的二阶方程307二、二阶线性方程解的构造309三、二阶常系数线性齐次方程的解法311四、二阶常系数线性非齐次方程的解法313五、特殊的二阶变系数线性方程欧拉方程318习题 12-33194 高于二阶的微分方程319一、方程319二、方程320三、高阶线性方程解的构造321习题 12-4321总 习 题 十二321习 题 参 考 答 案323第7章 向量代数与空间解析几何像平面解析几何同样，空间解析几何通过建立空间直角坐标系，把空间的几何图
8、形与图形上的点所满足的代数方程相应起来，从而运用代数工具来研究空间几何问题本章内容对于学习多元函数微积分学是比较重要的我们一方面简介向量的有关概念及运算，然后运用向量来研究平面和空间直线的方程，最后简介空间曲面和空间曲线的有关知识1 向量及其线性运算一、向量的概念客观世界中有这样的一种量，例如质量、时间、体积等，它们只有大小没有方向，这样的量称作标量大量实际问题中，也还存在此外一种量，例如位移、速度、力、力矩等，它们既有大小又有方向，这样的量称作向量图7-1一般用有向线段来表达向量，有向线段的长度表达向量的大小，有向线段的方向表达向量的方向如图7-1，起点为，终点为的有向线段表达一种向量，我们
9、把这个向量记作有时也用一种黑体字母来表达向量，例如、等等向量的共性是所有的向量均有大小和方向，数学上讨论的向量并不波及它的起点，即与它的起点位置无关，此类向量也称为自由向量两个向量与，只要大小相等，方向相似，都看作是相似的向量，记作如果一种向量在保持大小和方向不变的条件下通过平行移动后可以与此外一种向量重叠，那么这两个向量就是相等的，如图7-2，在平行四边形中，向量 向量或的大小也称作向量或的模，记作或模为零的向量称为零向量，记作或零向量没有拟定的方向，它的方向是任意的模等于的向量叫做单位向量设两个非零向量与，把它们的起点放在同一点，它们的终点分别是和，如图7-3，则有向线段与所形成的度数不超
10、过的夹角称为向量与的夹角，记作规定零向量与任意非零向量的夹角是任意的如果，则称图7-3 图7-2与垂直，记作如果或者，则称与平行，也称与共线，记作二、向量的线性运算1向量的加法和减法我们懂得，两个力的合力按照平行四边形法则拟定，力是一种向量，向量的加法运算与力的合成类似，按照如下法则拟定：设两个不共线的向量与，如图7-4，任意取一点，作，以，为邻边作平行四边形，则向量是向量与的和图7-4 图7-5在图7-4中，于是我们得到求两个向量和的三角形法则：设两个向量与，如图7-5，作向量，再以向量的终点为起点作向量，则向量即是向量与的和三角形法则对于两个共线的向量也是合用的由向量加法的三角形法则，我们
11、可以对多种向量进行求和，例如，我们只要先作出第一种向量，然后按照先后顺序，将前一种向量的终点作为后继向量的起点，依次作出其他的向量，直到作出最后一种向量，那么以向量的起点作为起点，以向量的终点作为终点的有向线段就是，见下图7-6图7-6 图7-7与向量大小相似方向相反的向量称为向量的负向量，记作我们规定向量与的差，因此由向量求和的三角形法则，我们可以得到，见图7-7从图上不难发现，的起点是的终点，的终点是的终点，也即若把向量与的起点放在同一点，那么由向量的终点指向的终点的有向线段就表达由图7-5和图7-7，以及三角形三边之间的关系，不难得到下面的结论：；向量的加法有下列运算律：（1）互换律 ；
12、（2）结合律 由图7-4容易验证互换律是成立的，下面验证结合律如图7-8所示，可知图7-8，；因此结合律也成立2向量与数的乘法设是一种实数，是一种向量，规定与的乘积是一种向量，它的模，并且当时的方向与的方向相似，当时的方向与的方向相反，当时这样规定的运算也简称为向量的数乘运算与非零向量同向的单位向量称为的单位向量，一般记作由向量与数的乘法规则可知，并且向量与实数的乘法运算满足下面的运算律：（1）结合律 ；（2）分派律，向量的加减法运算和向量的数乘运算统称为向量的线性运算注意到向量与平行，我们有下面判断两个向量平行的充要条件定理1 设向量是非零向量，则向量与向量平行的充足必要条件是：存在实数，使
13、得证根据向量的数乘运算规则，充足性是显然的，下面证明必要性设，如果与同向，取实数，那么，即与大小相似，又与同方向，因此如果与方向相反，则取实数，那么，并且与方向相似，因此证毕例1 运用向量证明三角形中位线定理证如图7-9，在中，、是、上的中点，因此，图7-9注意到，因此，也就是，且习题 7-11什么是单位向量，什么是零向量？2如果，那么吗？如果，那么成立吗？3已知平行四边形两对角线向量为与，运用与表达平行四边形四边的向量4运用向量证明对角线互相平分的四边形是平行四边形5向量与满足什么条件时，？6设，则？2 向量的坐标本节在引进空间直角坐标系的基本上，简介空间点的坐标向量的坐标及运用向量的坐标进行向量的线性运算，最后简介向量的方向角与方向余弦一、空间直角坐标系与点的坐标通过平面直角坐标系，平面上的一种点与一种有序实数对建立了一一相应的关系，从而用代数的措施来解决大量平面几何的问题作为平面直角坐标系的推广，我们引进空间直角坐标系，将空间中的点用一种有序实数组来表达图7-10在空间中取一定点，过该点作三条互相垂直的数轴轴，轴和轴，拟定它们的正向符合右手系，也就是当右手的四指从轴正向旋转握向轴的正向时，大拇指的指向就是轴的正向，这样的坐标系称
