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1、专题 38 动态几何之线动等腰三角形存在性（预测题）1. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y二ax2-2x + c （a, c为常数）的顶点为P,等 腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0,-1）, C的坐标为（-4, 3）,直角顶点B在 第二象限。CXOX/ *A（1）如图，若该抛物线过A, B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q,若点 M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三 角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标。2. 如图，抛物线y二亘x2 -込x与x轴交于点A,将线
2、段OA绕点0逆时针旋转120063至 0B 的位置.（1）点B在抛物线上；（2）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、0、B为顶点的三角形是等评卷人得分试卷第2 页，总 2页参考答案1. 解：（1）由题意，得点B的坐标为（-4,-1）,抛物线 y 二 ax2-2x + c 过 A （0,-1）, B（ -4,-1）两点,c = -116a + 8 + c = -11再”丿口a =，解得2。c = -1V1抛物线的函数表达式为：y = - 3x2- 2x -1（2）VA （0，- 1），C （-4，3），直线 AC 的解析式为：y = -x -1。设平移前抛物线的顶点为p，则由（1）可
3、得p的坐标为（-2, 1）,且p在直线AC上。 点P在直线AC上滑动，可设P的坐标为（m，-m-1）oy = -X -1f x = m1 ()2，解得 1 1，y = - x-m 2-m-1I y = -m-12 1则平移后抛物线的函数表达式为：y = -2（X -m）2 -m-1解方程组： 1x = m + 22。y = - m - 32P （m， m 1）， Q （ m + 2， m 3 ）。过点P作PEx轴，过点Q作QEy轴，贝VPE= m _（m + 2） = 2， QE= -m - 1-（-m - 3） = 2， PQ= 22 =AP。0若厶MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情
4、况： 当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为2近（即为PQ的长），由 A（ 0，- 1）， B（- 4，- 1）， P （- 2， 1）可知，0ABP。为等腰直角三角形，且BP丄AC, BP= 2迓1如图，过点B作直线lAC，交抛物线y = -qX2-2x-1于点M,则M为符合条件的点。70 ;、f可设直线1的解析式为:y= - x+b。.B （-4,-11= - 4+b，解得 b=-5.直线 1 的解析式为：y= - x - 5ox =一41y =一11x = 22y =一72y = x - 5解方程组1，得:y =X2 - 2x -12. M （- 4，- 1）， M （2，- 7）。12
5、当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为庁 如图，取AB的中点F,则点F的坐标为（-2,-1）。 由 A（ 0，- 1）， F（- 2，- 1）， P （- 2， 1）可知：0AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为V2。1过点F作直线1 AC，交抛物线y二-x2-2x-1于点M,则M为符合条件的点。2.可设直线 12的解析式为： y=- x+b2，VF（-2，-1），.-1=2+，解得2b=-3o.直线 1 的解析式为：y=-x-3。x = -1 + 芥51y =-2 -J51x =-1 -后 2 _y =-2 + J53 2y = -x - 3解方程组1 小、，得
6、:y =X2 - 2x -12.*.M （ -1 + Q5， -2-j5 ）， M （ -1-5 ， -2 + 灯5 ）。34综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：M （- 4，- 1）， M （2，- 7）， M （ -1 + V5， -2- aj5 ）， M （ -1 - V5， -2 + V5 ）。1234用。【解析】（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式。（2）首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础。若厶MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： 当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为-込，此时，将直线AC向左平移4个单位后所得直线（y
7、=-x-5。与抛物线的交点，即为所求之M点。 当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为运，此时，将直线AC向左平移2个单位后所得直线（y= - x - 3。与抛物线的交点，即为所求之M点。考点：二次函数综合题，平移问题，二次函数的图象与性质，待定系数法的应用，曲线上点 的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，轴对称的应用（最短路线问题），平 行四边形的判定和性质，勾股定理，分类思想的应2. 解：（1）如图1,过点B作BC丄x轴于点C，11：3.0C= OB= X4=2,BC=0B sin60= 4 x=2j32 22点B的坐标为（-2,2氏）。11x2 -疸 X 中，令 x = -263得
8、y = 23点 B 在抛物线上。2）存在。如图2,抛物线的对称轴是x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为（2, y）。若 OB=OP,则 22+|y|2=42,解得 y二土 2*3,当y= -23时，在 RtAPOD 中，ZPD0=90, sinZP0D= PD 二込OP 2 ZPOD=60o.ZP0B=ZP0D+ZA0B=60+120=180，即 P、0、B 三点在同一直线上。y=-2打不符合题意，舍去。点P的坐标为（2, 2柘）o若 OB=PB，则 42=42+|y - 2*3 丨2,解得 y= 2耳3。点P的坐标为（2, 2县）。 若 OP=BP，则 22+|y| 2=42+
9、|y - 2*3 12,解得 y= 2：3。点P的坐标为（2, 2J3 ）。综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2, 273 ）。【解析】（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直 角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标。（2）根据抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而0、B坐标已 知，可先表示出AOPB三边的边长表达式，然后分OP=OB、OP=BP、OB=BP三种情况分 类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点。考点：二次函数综合题，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，曲线上点 的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，分类思想的应用。
