《青岛中考数学(平行四边形提高练习题)压轴题训练》由会员分享，可在线阅读，更多相关《青岛中考数学(平行四边形提高练习题)压轴题训练（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，在RtABC中，B=90，AC=60cm，A=60，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒（0t15）过点D作DFBC于点F，连接DE，EF（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由【答案】（1）见解析；（2）能，t=10；（3）t=或12.【解析】【分析】（1）利用t表示出C
2、D以及AE的长，然后在直角CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；（3）DEF为直角三角形，分EDF=90和DEF=90两种情况讨论.【详解】解：（1）证明：在RtABC中，C=90A=30，AB=AC=60=30cm，CD=4t，AE=2t，又在RtCDF中，C=30，DF=CD=2t，DF=AE；（2）能，DFAB，DF=AE，四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即604t=2t，解得：t=10，当t=10时，AEFD是菱形；（3）若DEF为直角
3、三角形，有两种情况：如图1，EDF=90，DEBC，则AD=2AE，即604t=22t，解得：t=，如图2，DEF=90，DEAC，则AE=2AD，即，解得：t=12，综上所述，当t=或12时，DEF为直角三角形.2（1）（问题发现）如图1，在RtABC中，ABAC2，BAC90，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为 （2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出
4、线段AF的长【答案】（1）BE=AF；（2）无变化；（3）AF的长为1或+1【解析】试题分析：（1）先利用等腰直角三角形的性质得出AD= ，再得出BE=AB=2，即可得出结论；（2）先利用三角函数得出，同理得出，夹角相等即可得出ACFBCE，进而得出结论；（3）分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=，BF=，即可得出BE=，借助（2）得出的结论，当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论试题解析：（1）在RtABC中，AB=AC=2，根据勾股定理得，BC=AB=2，点D为BC的中点，AD=BC=，四边形CDEF是正方形，AF=EF=AD
5、=，BE=AB=2，BE=AF，故答案为BE=AF；（2）无变化；如图2，在RtABC中，AB=AC=2，ABC=ACB=45，sinABC=，在正方形CDEF中，FEC=FED=45，在RtCEF中，sinFEC=，FCE=ACB=45，FCEACE=ACBACE，FCA=ECB，ACFBCE， =，BE=AF，线段BE与AF的数量关系无变化；（3）当点E在线段AF上时，如图2，由（1）知，CF=EF=CD=，在RtBCF中，CF=，BC=2，根据勾股定理得，BF=，BE=BFEF=，由（2）知，BE=AF，AF=1，当点E在线段BF的延长线上时，如图3，在RtABC中，AB=AC=2，AB
6、C=ACB=45，sinABC=，在正方形CDEF中，FEC=FED=45，在RtCEF中，sinFEC= ， ，FCE=ACB=45，FCB+ACB=FCB+FCE，FCA=ECB，ACFBCE， =，BE=AF，由（1）知，CF=EF=CD=，在RtBCF中，CF=，BC=2，根据勾股定理得，BF=，BE=BF+EF=+，由（2）知，BE=AF，AF=+1即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为1或+13（1）如图1，将矩形折叠，使落在对角线上，折痕为，点落在点处，若，则的度数为_.（2）小明手中有一张矩形纸片，.（画一画）如图2，点在这张矩形纸片的边上，将纸片折叠
7、，使落在所在直线上，折痕设为（点，分别在边，上），利用直尺和圆规画出折痕（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；（算一算）如图3，点在这张矩形纸片的边上，将纸片折叠，使落在射线上，折痕为，点分别落在点，处，若，求的长.【答案】（1）21；（2）画一画；见解析；算一算：【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题；（2）【画一画】，如图2中，延长BA交CE的延长线由G，作BGC的角平分线交AD于M，交BC于N，直线MN即为所求；【算一算】首先求出GD=9-，由矩形的性质得出ADBC，BC=AD=9，由平行线的性质得出DGF=BFG，由翻折不变性可知，BFG=DF
8、G，证出DFG=DGF，由等腰三角形的判定定理证出DF=DG=，再由勾股定理求出CF，可得BF，再利用翻折不变性，可知FB=FB，由此即可解决问题【详解】（1）如图1所示：四边形ABCD是矩形，ADBC，ADB=DBC=42，由翻折的性质可知，DBE=EBC=DBC=21，故答案为21（2）【画一画】如图所示： 【算一算】如3所示：AG=，AD=9，GD=9-，四边形ABCD是矩形，ADBC，BC=AD=9，DGF=BFG，由翻折不变性可知，BFG=DFG，DFG=DGF，DF=DG=， CD=AB=4，C=90，在RtCDF中，由勾股定理得：CF=，BF=BC-CF=9，由翻折不变性可知，F
9、B=FB=，BD=DF-FB=.【点睛】四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题4在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0）、点C（0，6），若正方形OABC绕点O顺时针旋转，得正方形OABC，记旋转角为：（1）如图，当45时，求BC与AB的交点D的坐标；（2）如图，当60时，求点B的坐标；（3）若P为线段BC的中点，求AP长的取值范围（直接写出结果即可）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）当45时，延长OA经过点B，在RtBAD中，OBC45，AB，可求
10、得BD的长，进而求得CD的长，即可得出点D的坐标；（2）过点C作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B作MN的垂线，垂足为N，证明OMCCNB，可得CNOM，BNCM3，即可得出点B的坐标；（3）连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，因为P为线段BC的中点，所以PKOC3，即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围【详解】解：（1）A（6，0）、C（0，6），O（0，0），四边形OABC是边长为6的正方形，当45时，如图，延长OA经过点B，OB6，OAOA6，OBC45，AB，BD（），CD6（）=，BC与AB的交点D的坐标为（，6）；（2）如图，过点C作x轴垂线MN，
11、交x轴于点M，过点B作MN的垂线，垂足为N，OCB90，OCM90BCNCBN，OCBC，OMCCNB90，OMCCNB（AAS），当60时，AOC90，OC6，COM30，CNOM，BNCM3，点B的坐标为；（3）如图，连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，P为线段BC的中点，PKOC3，P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，AK3，AP最大值为，AP的最小值为，AP长的取值范围为.【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P的轨迹5定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”性质：如果两个三角形是“友好三
12、角形”，那么这两个三角形的面积相等理解：如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，那么ACD和BCD是“友好三角形”，并且SACD=SBCD应用：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O（1）求证：AOB和AOE是“友好三角形”；（2）连接OD，若AOE和DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积探究：在ABC中，A=30，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，ACD和BCD是“友好三角形”，将ACD沿CD所在直线翻折，得到ACD，若ACD与ABC重合部分的面积等于ABC面积的，请直接写出ABC的面积【答案】（1）见解析；（2）1
13、2；探究：2或2【解析】试题分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得AOE和AOB是友好三角形；（2）AOE和DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得ABE、ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2SABF即可求解探究：画出符合条件的两种情况：求出四边形ADCB是平行四边形，求出BC和AD推出ACB=90，根据三角形面积公式求出即可；求出高CQ，求出ADC的面积即可求出ABC的面积试题解析：（1）四边形ABCD是矩形，ADBC，AE=BF，四边形ABFE是平行四边形，OE=OB，AOE和AOB是友好三角形（2）AOE和DOE是友好三角形，SAOE=SDOE，AE=ED=AD=3，AOB与AOE是友好三角形，SAOB=SAOE，AOEFOB，SAOE=SFOB，SAOD=SABF，S四边形CDOF=S矩形ABCD-2SABF=46-243=12探究：解：分为两种情况：如图1，SACD=SBCDAD=BD=AB，沿CD折叠A和A重合，AD=AD=AB=4=2，ACD与ABC重合部分的面积等于ABC面积的，S
