《备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题44举重若轻--立体几何问题的空间向量方法II》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题44举重若轻--立体几何问题的空间向量方法II（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题44 举重若轻-立体几何问题的空间向量方法（II）【热点聚焦与扩展】利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则
2、通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.本专题通过例题重点说明利用空间向量求角和距离、存在性问题的方法与技巧.（一）空间向量可解决的立体几何问题（用表示直线的方向向量，用表示平面的法向量）1、判定（证明）类（1）线面平行： （2）线面垂直：（3）面面平行：（4）面面垂直：2、计算类：（1）两直线所成角： （2）线面角：（3）二面角：或（视平面角与法向量夹角关系而定）（4）点到平面距离：设为平面外一点，为平面上任意一点，则到平面的距离为，即在法向量上投影的绝对值.（二）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件
3、，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧1、理念：先设再求先设出所求点的坐标，再想办法利用条件求出坐标2、解题关键：减少变量数量可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：（1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标（2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标规律：维度=所用变量个数3、如何减少变量：（1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理若使得 例：已知，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示，方法如下：三点中
4、取两点构成两个向量因为在上，所以 共线定理的应用（关键），即仅用一个变量表示（2）平面上的点：平面向量基本定理若不共线，则平面上任意一个向量，均存在，使得： 例：已知，则平面上的某点坐标可用两个变量表示，方法如下：，故，即（三）方法与技巧1.两条异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线aa，bb，则a与b所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角范围：两异面直线所成角的取值范围是向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则有.2.直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin |c
5、os |.3.求二面角的大小(1)如图1，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，(2)如图2、3，分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小(或)4.点面距的求法如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离d.【经典例题】例1. 如图，正四面体中， 、分别是棱和的中点，则直线和所成的角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图所示，作AO底面BCD，垂足为O，O为底面等边BCD的中心，建立空间直角坐标系不妨取CD=2则： ， 利用空间向量求解余弦值有： .异面直线AE与CF所成角的余弦值为 .例2.【2017江苏，2
6、2】 如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=, . （1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A1D-A的正弦值.【答案】（1）（2） 例3. 如图，在长方体中，、分别是、的中点证明、四点共面，并求直线与平面所成的角的正弦值大小.【答案】【解析】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、取，得平面的一个法向量又，故因此直线与平面所成的角的正弦值大小为例4. 如图，三棱柱中， ， ， 分别为棱的中点.（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明.（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的
7、正弦值.【答案】（1）见解析（2）试题解析：（1）如图，在平面内，过点作交于点，连结，在中，作交于点，连结并延长交于点，则为所求作直线.（2）连结，为正三角形.为的中点，为的中点，点的坐标为，.，设平面的法向量为，由得，令，得，所以平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.例5.【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，求二面角A-PB-C的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题解析：（1）由已知，得ABAP，CDPD.由于ABCD ，故ABPD ，从而
8、AB平面PAD.又AB 平面PAB，所以平面PAB平面PAD.由（1）及已知可得，.设是平面的法向量，则，即，可取.则，所以二面角的余弦值为.例6.【2017课标II，理19】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点。（1）证明：直线 平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为 ，求二面角的余弦值。【答案】(1)证明略；(2) .【解析】试题解析：（2）由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,，设则，例7【2017山东，理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及
9、其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.（）设是上的一点，且，求的大小；（）当，求二面角的大小.【答案】（）.（）.思路二：以为坐标原点，分别以，所在的直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.写出相关点的坐标，求平面的一个法向量，平面的一个法向量计算即得.（）解法一：取的中点，连接，.因为，又，所以.在中，由于，由余弦定理得，所以，因此为等边三角形，故所求的角为.解法二：以为坐标原点，分别以，所在的直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因此所求的角为.例8.【2017北京，理16】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD
10、/平面MAC，PA=PD=，AB=4（I）求证：M为PB的中点；（II）求二面角B-PD-A的大小；（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值【答案】（）详见解析：（） ；（） 【解析】 （III）由题意知，.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.例9.已知在四棱锥中，底面是矩形，且平面 ，分别是线段的中点（1）求证： （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）存在点，为的四等分点（靠近）；（3）.【解析】因为平面，且四边形是矩形 以为轴建立空间直角坐标系，设 （1
11、） （2）设 解得 存在点，为的四等分点（靠近）（3）底面 在底面的投影为 为与平面所成的角，即为等腰直角三角形 即 平面的法向量为平面为平面，所以平面的法向量为 设二面角的平面角为，可知为锐角 .例10.【2018届北京市十一学校3月模拟】四棱锥中,底面是边长为的菱形,侧面底面,60, , 是中点,点在侧棱上.（）求证: ;（）是否存在,使平面 平面？若存在,求出,若不存在,说明理由.（）是否存在,使平面？若存在,求出.若不存在,说明理由.【答案】（I）详见解析；（II）详见解析；（III）详见解析.因为菱形中, ,所以.所以.因为,且平面,所以平面.所以.（）由（）可知, ,因为侧面底面,
12、且平面底面,所以底面.则,即.令,则,即.所以.由图可知,二面角为锐角,所以余弦值为.（）设由（）可知.设,则,又因为,所以,即.所以在平面中, ,所以平面的法向量为,又因为平面,所以,即,解得.所以当时, 平面【精选精练】1. 设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】D，故选C2. 二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知， ， ， ，则该二面角的大小为()(A) (B) (C) (D) 【答案】C3.在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D
13、. 【答案】D【解析】以 为原点, 为 轴,在平面 中过作 的垂线为 轴,为轴,建立空间直角坐标系, 在三棱柱 中,底面为正三角形,侧棱垂直底面,分别是棱上的点,且, ,设异面直线与所成角所成角为 ,则 .所以异面直线与所成角的余弦值为 .故选D.4【2018届河北省定州中学高三上第二次月考】已知点在正方体的对角线上，在上，则与所成角的大小为_.【答案】5在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离 【答案】6【2018届浙江省名校协作体高三上学期考试】如图，棱长为的正方体的顶点在平面内，三条棱, , 都在平面的同侧. 若顶点, 到平面的距离分别为,，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为_【答案】
14、【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设平面 的一个法向量为 ，设 连结 则四面体 为直角四面体；作平面的法线 作 于 于 于 连结 ，令 由等体积可得 令 可得 设， 面角的余弦值为 7.【2018届贵州省黔东南州高三上第一次联考】如图所示，在四棱锥中，四边形为菱形， 为正三角形，且分别为的中点， 平面， 平面（1）求证： 平面；（2）求与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）证明：AD平面PEB，利用四边形ABCD为菱形，可得ADBC，即可证明BC平面PEB；（2）以E为原点，建立坐标系，求出平面PDC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求EF与平面PDC所所以平面（2）解：以为原点， 分别为轴建立空间直角坐标系，
