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1、2019届数学人教版精品资料1.4.3正切函数的性质与图象学习目标1.会求正切函数ytan(x)的周期.2.掌握正切函数ytan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法.知识点一正切函数的性质思考1正切函数的定义域是什么？答案x|xR且xk，kZ.思考2诱导公式tan(x)tan x，xR且xk，kZ说明了正切函数的什么性质？答案 周期性.思考3诱导公式tan(x)tan x，xR且xk，kZ说明了正切函数的什么性质？答案 奇偶性.思考4从正切线上看，在上正切函数值是增大的吗？答案是.梳理函数ytan x的图象与性质见下表：解析式ytan x图象
2、定义域x|xR且xk，kZ值域R周期奇偶性奇单调性在开区间(kZ)内都是增函数知识点二正切函数的图象思考1利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？答案根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间(，)上的图象.作法如下：(1)作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧作单位圆.(2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线.(3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度).(4)连线，得到如图所示的图象.(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数ytan x，xR且xk(kZ)的图象，把它称为正切曲线(如图所示).可以看出，正切曲线是被相互平行
3、的直线xk，kZ所隔开的无穷多支曲线组成的.思考2我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数ytan x，x的简图吗？怎样画？答案能，三个关键点：，(0，0)，两条平行线：x，x.梳理(1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征正切曲线是被相互平行的直线xk，kZ所隔开的无穷多支曲线组成的.类型一正切函数的定义域例1求下列函数的定义域.(1)y；(2)ylg(tan x).解(1)要使函数y有意义，必须且只需所以函数的定义域为x|xR且xk，xk，kZ.(2)因为tan x0，所以tan x.又因为当tan x时，xk(kZ)，根据正切函数图象，得kxk (k
4、Z)，所以函数的定义域是x|kxk，kZ.反思与感悟求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.跟踪训练1求函数ylg(1tan x)的定义域.解由题意得即1tan x1.在内，满足上述不等式的x的取值范围是，又ytan x的周期为，所以函数的定义域是(kZ).类型二正切函数的单调性及其应用命题角度1求正切函数的单调区间例2求函数ytan的单调区间及最小正周期.解ytantan，由kxk(kZ)，得2kx0)的单调区间的求法是把x看成一个整体，解kxk，kZ即可.当0时，先用诱导公式把化为正值再求单调区间.跟踪训练2求函数ytan的单调区间.
5、解ytan x在x (kZ)上是增函数，k2xk，kZ，即x，kZ.函数ytan的单调递增区间是 (kZ).命题角度2利用正切函数的单调性比较大小例3(1)比较大小：tan 32_tan 215；tan_tan().(2)将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为_.(用“”连接)答案(1)(2)tan 2tan 3tan 1解析(1)tan 215tan(18035)tan 35，ytan x在(0，90)上单调递增，3235，tan 32tan 35tan 215.tantan(4)tan()，tan()tan(3)tan()，ytan x在(，)上单调递增，且，tan()tan()
6、，即tantan().(2)tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，231，且ytan x在(，)上单调递增，tan(2)tan(3)tan 1，即tan 2tan 3解析tantantan ，tantantan .又0，ytan x在内单调递增，tan tan ，tantan.类型三正切函数的图象及应用例4画出函数y|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.解由y|tan x|，得y其图象如图所示.由图象可知，函数y|tan x|是偶函数，单调递增区间为(kZ)，单调递减区间为(kZ)，周期为.反思与感悟(1)作出函数y|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具
7、体步骤是：保留函数yf(x)图象在x轴上方的部分；将函数yf(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可.跟踪训练4设函数f(x)tan.(1)求函数f(x)的周期，对称中心；(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.解(1)，周期T2.令(kZ)，得xk(kZ)，f(x)的对称中心是(kZ).(2)令0，则x；令，则x；令，则x.函数ytan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x，x，从而得到函数yf(x)在一个周期内的简图(如图).1.函数ytan(2x)的最小正周期是
8、()A. B.2 C. D.答案C解析最小正周期为T.2.函数f(x)tan(x)的单调递增区间为()A.(k，k)，kZB.(k，(k1)，kZC.(k，k)，kZD.(k，k)，kZ答案C3.在下列函数中同时满足：在上递增；以2为周期；是奇函数的是()A.ytan x B.ycos xC.ytan D.ytan x答案C4.方程tan在区间0，2)上的解的个数是()A.5 B.4 C.3 D.2答案B解析由tan，解得2xk(kZ)，x(kZ)，又x0，2)，x0，.故选B.5.比较大小：tan 1_tan 4.答案解析由正切函数的图象易知tan 10，tan 4tan(4)，而041，函
9、数ytan x在上为增函数，所以tan 1tan(4)tan 4.1.正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为xk，kZ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增.2.正切函数的性质(1)正切函数ytan x的定义域是，值域是R.(2)正切函数ytan x的最小正周期是，函数yAtan(x) (A0)的周期为T.(3)正切函数在(kZ)上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.课时作业一、选择题1.函数ytan，xR且xk，kZ的一个对称中心是()A.(0，0) B. C. D.(，0)答案C2.函数f(x)lg(tan x)为()A.奇函数B.既是奇函数又是偶函数C
10、.偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数答案A解析|tan x|tan x，其定义域为x|xk，kZ，关于原点对称.又f(x)f(x)lg(tan x)lg(tan x)lg 10，f(x)为奇函数，故选A.3.满足tan A1的三角形的内角A的取值范围是()A.(0，) B.(0，)(，)C.(，) D.(0，)(，)答案D解析因为A为三角形的内角，所以0A1，结合正切曲线得A(0，)(，).4.下列各点中，不是函数ytan(2x)的图象的对称中心的是()A.(，0) B.(，0)C.(，0) D.(，0)答案C解析令2x，kZ，得x.令k0，得x；令k1，得x；令k2，得x.故选C.5.函数f
11、(x)tan x (0)的图象的相邻两支截直线y所得的线段长为，则f的值是()A.0 B.1 C.1 D.答案A解析由题意，得T，4.f(x)tan 4x，ftan 0.6.函数ytan xsin x|tan xsin x|在区间内的图象是()答案D解析当x时，tan xsin x，y2tan x0；当x时，y0；当xsin x，y2sin x0.故选D.7.下列关于函数ytan的说法正确的是()A.在区间上单调递增B.最小正周期是C.图象关于点成中心对称D.图象关于直线x成轴对称答案B解析令kxk，解得kxk，kZ，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为，故B正确；令x，解得x，kZ，任取k值不能得到x，故C错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数ytan的图象也没有对称轴，故D错误.故选B.二、填空题8.函数y3tan(3x)的对称中心的坐标是_.答案(kZ)解析由3x(kZ)，得x(kZ)，所以对称中心的坐标为(kZ).9.函数ytan2x4tan x1，x的值域为_.答案4，4解析x，1tan x1.令tan xt，则t1，1，yt24t1(t2)25.当t1，即x时，ymin4，当t1，即x时，ymax4.故所求函数的值域为4，4.10.函数y3tan的最小正周期是，则_.答案2解析T，2.11.函数y的定义域是_.答案(k，k(kZ
