排列组合-拔高难度-讲义

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1、排列组合知识讲解一、排列1排列：一般地，从n个不同的元素中任取m(m W n)个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素)2排列数：从n个不同的元素中取出m(m W n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的排列数，用符号Am表示.n3排列数公式：Am = n(n - 1)(n - 2) (n - m +1) , m, n e N，并且 m W n -n+4全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列.5n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n!表示规定：0! = 1

2、.二、组合1组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m W n)个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合.2组合数：从n个不同元素中，任意取出m (m Wn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同兀素中，任意取出m个兀素的组合数，用符号C表示.Cmn3组合数公式:Cm =n，并且 n(n - 1)(n - 2)(n - m +1) n!m, n e N m W n m!m !(n - m)!组合数的两个性质：Cm = Cn-mnn Cm = Cm + Cm-1 .(规定 Co = 1 )n三、排列组合一些常用方法1. 特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元

3、素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2. 分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分 类明确，层次清楚，不重不漏3. 排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法4. 捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进 行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列5. 插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空6插板法：n个相同元素，分成m（m W n）组，每组至少一个的分组问题一一把n个元素排 成一排，从n -1个空中选m -1个空，各插一个隔

4、板，有Cm-1 .n-17分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别一般 地平均分成n堆（组），必须除以n !，如果有m堆（组）元素个数相等，必须除以m !&错位法 编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里每个盒子放一个小球， 要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n二2 ,3,4,5时的错位 数各为 1， 2， 9， 44关于5、 6、 7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3 个、 4 个元素的错位排列的问题四、实际问题的解题策略1排列与组合应用题三种解决途径： 元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素

5、； 位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； 间接法先不考虑附加条件计算出排列或组合数再减去不符合要求的排列数或组合数.注意：求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是 分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答2.具体的解题策略有：对特殊元素进行优先安排； 理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； 对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； 对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法; 顺序固定的问题用除法处理；分几排的

6、问题可以转化为直排问题处理； 对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面. 对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型.典型例题魄一，选择题（共2小题）1 . （ 2018合肥三模）如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（ ）A24 B48 C96 D120【解答】解：第一类：若A，D相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂 法，再涂B有2种涂法，C只有一种涂法，共有4X3X2=24种，第二类，若A，D不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种 涂法，当B和D相同时，C有1种涂法，当B和D不同时，B，C只有

7、一种涂法，共有4X3X2X（ 1+1）=48种，根据分类计数原理可得，共有24+48=72种，故选： C2（2018大荔县模拟）如图所示的五个区域中，要求在每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，现有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为A64 B72 C84 D96【解答】解：分两种情况：（1 ） A、C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B、D有1种，有4X3 X 2=24 种；（2）A、C同色，先涂A有4种，E有3种，E有2种，B、D各有2种，有4X3X2X2=48 种共有72种，故选：B .二解答题（共 16 小题）3 . （ 2018春金凤区校级期末）有5个男生和3个女

8、生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：（ 1）有女生但人数必须少于男生；（ 2）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；（用数字回答）【解答】解（1洗取后排女生1人男生4人女生2人男生3人共有C ic 4+c 2C 3，3535再把从中选出5人担任5门不同学科的科代表有A5，5故共有（C31C54+C32C53）A55=5400 种，（ 2 ）先安排这一名男生，再从剩下的7人中选4人安排剩下的4门学科，共有C41A74=3360 种4 （ 2018春历下区校级期中）某学习小组有3个男生和4个女生共7人:1）将此 7 人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？（2）

9、将此 7 人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少 种？（3）从中选出2 名男生和 2 名女生分别承担4 种不同的任务，有多少种选派方 法？（4）现有7 个座位连成一排，仅安排4 个女生就座，恰有两个空位相邻的不同 坐法共有多少种？【解答】解：（1）根据题意，分 2 步进行分析： ，将3个男生全排列，有A3种排法，排好后有4个空位， ，将4名女生全排列，安排到4个空位中，有A44种排法，则一共有种排法；（2）根据题意，分 2种情况讨论： ，男生甲在最右边，有A66=720 , ，男生甲不站最左边也不在最右边，有A51A51A55=3000 ,则有720+3000 - 3720

10、种排法；（3）根据题意，分 2 步进行分析： ，在3名男生中选取2名男生，4名女生中选取2名女生，有C32C42种选取方 法， ，将选出的4人全排列，承担4种不同的任务，有A44种情况，则有种不同的安排方法；（4）根据题意， 7 个座位连成一排，仅安排 4 个女生就座，还有 3 个空座位，分2步进行分析： ，将4名女生全排列，有A4种情况，排好后有5个空位， ，将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，有 A52 种情况，则有种排法5 .( 2017春林芝地区期末)4个男生，3个女生站成一排.(必须写出算式再算 出结果才得分)(1) 3个女生必须排在一起，有多少种不同

11、的排法？(II )任何两个女生彼此不相邻，有多少种不同的排法？(III )甲乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法？【解答】解：(I )先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素做全排列有 种( I )男生排好后， 5 个空再插女生有种( I )甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出 3人排在甲、乙之间，把排好的5 个元素与最好的 2 个元素全排列，分步有种6 .( 2017春金台区期末)有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同 学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：( 1)有女生但人数必须少于男生( 2)某女生一定要担任语文科代表( 3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表( 4

12、)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表解答】解：（1）先取后排，有种，后排有 种，共有（=5400 种（3 分）（ 2）除去该女生后先取后排：=840 种.（ 6 分）（ 3）先取后排，但先安排该男生：=3360 种.（ 9 分）（ 4 ）先从除去该男生该女生的6人中选3人有 种，再安排该男生有 种，其余3人全排有 种，共 =360种.（12分）7 .（ 2017春平安县校级期中）五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种 数：（用数字作答）（ 1）甲、乙两人相邻；（ 2）甲、乙两人不相邻；（ 3）甲不在排头，并且乙不在排尾；（ 4）甲在乙前，并且乙在丙前【解答

13、】解：（ 1）把甲、乙看成一个人来排有 种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法种数为 =48 种，（ 2 ）排除甲乙之外的3人，形成4个空，再把甲乙插入空位有 =72，（3 ）甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：-2 + =78种，（ 4）因为甲、乙、丙共有 3！种顺序，所以甲在乙前，并且乙在丙前排法种数为：-3 ! =20 种，8 （ 2017春南岸区校级期中）现由某校高二年级四个班学生34人，其中一、 二、三、四班分别为7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人做中心发言，这

14、二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？ 【解答】解：（1）根据题意，四个班共34 人，要求从34人中，选其中一人为负 责人，即有c341=34种选法；（2）根据题意，分析可得：从一班选一名组长，有7种情况， 从二班选一名组长，有8种情况，从三班选一名组长，有9种情况， 从四班选一名组长，有10种情况，所以每班选一名组长，共有不同的选法N=7X8X9X 10=5040 （种）.（3）根据题意，分六种情况讨论， 从一、二班学生中各选1人，有7X8种不同的选法； 从一、三班学生中各选1人，有7X9种不同的选法， 从一、四班学生中各选1人，有7X10种不同的选法； 从二、三班学生中各选1人，有8X

15、9种不同的选法； 从二、四班学生中各选1人，有8X10种不同的选法； 从三、四班学生中各选1人，有9X10种不同的选法，所以共有不同的选法 N=7 X 8+7 X 9+7 X 10+8 X 9+8 X 10+9 X 10=431 （种）.9.（ 2017 春 诸暨市校级期中） 7 人站成一排，求满足下列条件的不同站法：（ 1）甲、乙两人相邻；2）甲、乙之间隔着 2 人；3）若 7 人顺序不变，再加入3 个人，要求保持原先 7 人顺序不变； （4）甲、乙、丙 3 人中从左向右看由高到底（3 人身高不同）的站法；（5）若甲、乙两人去坐标号为 1，2，3，4，5，6，7 的七把椅子，要求每人两 边都有空位的坐法【解答】解：（1）（捆绑法），把甲乙二人捆绑在一起，再和其他5 人全排列