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1、最新版教学资料数学第4讲 导数与函数的单调性、极值与最值一、选择题1函数f(x)x2ln x的单调递减区间为()A(1，1B(0，1C1，) D(0，)解析：由题意知，函数的定义域为(0，)，又由f(x)x0，解得0x1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1答案：B2(2017浙江卷)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()解析：利用导数与函数的单调性进行验证f(x)0的解集对应yf(x)的增区间，f(x)0的解集对应yf(x)的减区间，验证只有D选项符合答案：D3函数f(x)3x2ln x2x的极值点的个数是()A0 B1C2 D无数个解析：函数定
2、义域为(0，)，且f(x)6x2，由于x0，g(x)6x22x1的200，所以g(x)0恒成立，故f(x)0恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点答案：A4(2016山东卷)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质下列函数中具有T性质的是()Aysin x Byln xCyex Dyx3解析：对函数ysin x求导，得ycos x，当x0时，该点处切线l1的斜率k11，当x时，该点处切线l2的斜率k21，所以k1k21，所以l1l2；对函数yln x求导，得y恒大于0，斜率之积不可能为1；对函数yex求导，得yex恒大于0，斜率
3、之积不可能为1；对函数yx3，得y3x2恒大于等于0，斜率之积不可能为1.答案：A5已知a0，函数f(x)(x22ax)ex，若f(x)在1，1上是单调递减函数，则a的取值范围是()A0a B.aCa D0a解析：f(x)exx22(1a)x2a，因为f(x)在1，1上单调递减，所以f(x)0在1，1上恒成立令g(x)x22(1a)x2a，则解得a.答案：C二、填空题6已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a_解析：由题意得f(x)3x212，令f(x)0得x2，所以当x2时，f(x)0；当2x2时，f(x)0，所以f(x)在(，2)上为增函数，在(2，2)上为减函数，在(2，)上为增函
4、数所以f(x)在x2处取得极小值，所以a2.答案：27(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切点方程是_解析：令x0，则x0，f(x)ln x3x，又f(x)为偶函数，即f(x)f(x)，所以f(x)ln x3x(x0)，则f(x)3(x0)所以f(1)2，所以在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即y2x1.答案：2xy108(2017佛山质检)若函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_解析：f(x)x4.由f(x)0及判断可知函数f(x)的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区
5、间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，所以t1t1或t3t1，解得0t1或2t3.答案：(0，1)(2，3)三、解答题9(2017邯州二模选编)已知函数f(x)ax2(2a1)xln x(导学号 55410099)(1)当a0时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)当a0时，求函数f(x)在上的最小值解：(1)因为f(x)ax2(12a)xln x，所以f(x)2ax(12a)，因为a0，x0，所以2ax10，解f(x)0，得x1，所以f(x)的单调增区间为(1，)(2)当a0时，由f(x)0，得x1，x21，当1，即a0时，f(x)在(0，1)上是减函数，所以f(x)在上的
6、最小值为f(1)1a.当1，即1a时，f(x)在上是减函数，在上是增函数，所以f(x)的最小值为f1ln(2a)当，即a1时，f(x)在上是增函数，所以f(x)的最小值为faln 2.综上可知，函数f(x)在区间上的最小值为：f(x)min10(2017山东卷改编)已知函数f(x)x3ax2，其中参数a0.(导学号 55410100)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程；(2)设函数g(x)f(x)(xa)cos xsin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值解：(1)由题意f(x)x2ax，所以当a2时，f(3)0，f(x)x22x，所以f(3)
7、3，因此曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程是y3(x3)，即3xy90.(2)因为g(x)f(x)(xa)cos xsin x，所以g(x)f(x)cos x(xa)sin xcos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x)，令h(x)xsin x，则h(x)1cos x0，所以h(x)在R上单调递增因为h(0)0，所以，当x0时，h(x)0；当x0时，h(x)0.当a0时，g(x)x(xsin x)，当x(，)时，g(x)0，g(x)单调递增；所以g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值当a0时，g(x)(xa)(xsin x)，当x(，0)时，xa0，
8、g(x)0，g(x)单调递增；当x(0，a)时，xa0，g(x)0，g(x)单调递减；当x(a，)时，xa0，g(x)0，g(x)单调递增所以，当x0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)a；当xa时，g(x)取到极小值，极小值是g(a)a3sin a.综上所述，当a0时，g(x)在R上单调递增，无极值；当a0时，函数g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)a，极小值是g(a)a3sin a.11(2017广州联考)已知f(x)ln x.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意x0，均有x(2ln aln x)a恒成立，求正数a的取值范围解：(1)f(x).a0时，f(x)0，即a0，f(x)在(0，)为增函数，无极值a0，0xa，f(x)0，f(x)在(0，a)为减函数；xa，f(x)0，f(x)在(a，)为增函数，f(x)在(0，)有极小值，无极大值，f(x)的极小值f(a)ln a1.(2)对任意x0，均有x(2ln aln x)a恒成立所以2ln aln x在x0时恒成立，即恒有2ln aln x.由(1)知f(x)ln x的极小值f(a)ln a1.因此2ln aln a1，ln a1.所以0ae，则正数a的取值范围是(0，e
