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1、乘法公式的拓展及常见题型整理一公式拓展:a2 + b2 二(a b)2 + 2ab拓展一：a2 + b2 二(a + b)2 2ab11a2 += (a + )2 一 2a 2a11a 2 += (a 一一 )2 + 2a 2a拓展二：（a + b）2 （a b）2 二 4ab(a + b)2 + (a b )2 = 2a 2 + 2b 2(a + b)2 二(a b)2 + 4ab(a b)2 二(a + b)2 4ab拓展三：a2 + b2 + c2 二(a + b + c)2 2ab 2ac 2bc拓展四：杨辉三角形(a + b)3 二 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3(a +
2、 b)4 二 a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4拓展五：立方和与立方差a3 + b3 二(a + b)(a2 ab + b2)a3 b3 二(a b)(a2 + ab + b2)二常见题型:（一）公式倍比例题:已知a + b =4,求+ ab。（1）如果 a 一 b = 3, a 一 c = 1，那么（a b）2 +（b c）2 +（c a）2 的值是1x 2 + xy + y 2 = 已知 x(x-1) - (x2 - y) = 一2,则 xx J 一 xy =乙（二）公式组合例题：已知（A+b）2=7,（A-b）2=3, 求值：（l）A2+b2（2）abab = 若
3、(a -b)2 = 7, (a + b)2 = 13, 则a2 + b2 =设(5a+3b) 2= (5a3b) 2+A，贝V A= 若(x - y)2 = (x + y)2 + a，则 a 为 如果(x - y)2 + M = (x + y)2，那么M等于 已知（a+b）2二m, （ab）2=n，则 ab 等于若（2a 一 3b）2 = （2a + 3b）2 + N，则N的代数式是 已知(a + b)2 = 7,(a - b)2 = 3,求 a2 + b2 + ab 的值为.已知实数 a,b,c,d 满足 ac + bd = 3,ad 一 be = 5，求(a2 + b2)(c2 + d2)
4、（三）整体代入例 1： x2 - y2 = 24, x + y = 6，求代数式5x + 3y 的值。例2：已知a=20x+20.1b=2ox+19,1c=2ox+21,求 a2+b2+c2abbcac 的值(1)若 x 3y = 7, x2 - 9y2 = 49，贝y x + 3y =(2)若 a + b = 2，贝y a2 - b2 + 4b = 若 a + 5b = 6，贝y a2 + 5ab + 30b =/c、 a + b , 已知a2+b2=6ab且ab0,求的值为a - b 已知 a = 2005x + 2004， b = 2005x + 2006， e = 2005 x + 2
5、008, 贝y代数式a2 + b2 + e2 - ab - be - ea的值是.(四) 步步为营例题：3 x (2 2 +1) x (2 4 +1) x (2 8 +1) x ( 2 16 +1)6 x (7 +1) x (7 2 +1) x (7 4 +1) x (78 +1)+120122 - 20112 + 20102 - 20092 + + 22 -121- 122八32八20102丿(2 +1) x (22 +1) x (24 +1) x (28 +1) x (216 +1) x (232 +1) +1（五）分类配方例题：已知m2 + n2 - 6m + 10n + 34 = 0，
6、求m + n 的值。 已知：x2 +y2 +z2 -2x+4y-6z+14=0，则 x+y+z 的值为 已知x2 +y2 -6x-2y+10=0,则+丄的值为。x y 已知X2+y2-2x+2y+2=0,求代数式x2003 + y2004的值为. 已知 a2+b2+6a-4b+13=0,求（a+b）2 的值为说理:试说明不论x,y取什么有理数，多项式X2+y2-2x+2y+3的值总是正数.（六）首尾互倒1例1:已知x x2,求:(1) a2 ;(24 ;(3a -a2a4a1例 2：已知 a27a+1=0.求a 、a2 a11 2和a 的值;a2a已知x2 3x 10,求x21=X21X2V1
7、9若 x22 x + 1=0,X41求 _X4的值为11如果a + = 2，那么a2 +=aa 21x + 2、已知 xX 2 +，那么已知 x1X2 +则x2的值是1 、 1 若a += 2 且0al,求a 的值是aa、 1已知 a23a+1=0.求a + 和 a a-和a2 +丄的值为aa 2已知X + - = 3，求x2 +丄=XX 2、 1的值;已矢口 a27a+l = 0.求a +、a2 +a(七)知二求一例题：已知a + b = 5, ab = 3 ,a b求：a2 + b2a -b a2 -b2 +a2 - ab + b2b a 已知 m + n = 2 , mn = 2，则(1
8、 m)(1 n)= 若 a2+2a=1 则（a+l）2二 若a2 + b2 = 7, a+b=5，则 ab= 若a2 + b2 = 7, ab =5,则 a+b= 若 X2+y2=12,xy=4,则(x-y)2二. a2 + b2 = 7, a-b=5，则 ab= 若a2 + b2 = 3, ab =-4,则 a-b= 已知：a+b=7,ab=T2,求 a2+b2二 a2-ab+b2二 （a-b）2二(7) 已知 a+b=3, a3+b3=9，贝U ab=, a2+b2= , a-b=第五讲 乘法公式应用与拓展【基础知识概述】一、基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2 b2完全平方公
9、式：(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2变形公式：(1) a2 + b2 = (a + b )2 - 2ab(2) a 2 + b 2 =(a b)2 + 2ab(3) (a + b)2 + (a b)2 = 2a 2 + 2b 2(4) (a + b)2 (a b)2 = 4 ab二、思想方法：a、b可以是数，可以是某个式子； 要有整体观念，即把某一个式子看成a或b,再用公式。 注意公式的逆用。 a 2 $0。 用公式的变形形式。三、典型问题分析：1、顺用公式:例1、计算下列各题：(a 一 b)(a + b)(a2 + b2 )(a4 + b4
10、 )(a8 + b 3 (2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 + 1)( 2 16 +1)+12、逆用公式：例 2. 19492-19502 +19512 _19522 +20112 -20122(1 A(1 A(1A(1 A1 1 1I 22丿1 32丿1 42丿1 20102丿 1.23452+0.76552+2.469X0.7655【变式练习】填空题：a2 + 6a + 4 x 2 +1 += ()26. x2+ax+121是一个完全平方式，则a为（）A. 22B.-22C.22D. 03、配方法：例 3-已知：x2 +y2 +4x-2y+5=0，求 x+y 的值。【变式练习】已知
11、x2 +y2-6x-2y+10=0,求+ 的值。x y 已知：x2 +y2 +z2-2x+4y-6z+14=0,求：x+y+z 的值。当X二时，代数式X2 + 4取得最小值，这个最小值是当x二时，代数式(x-3匕+ 4取得最小值，这个最小值 当x二时，代数式x2 -4x-3取得最小值，这个最小值是.对于-2 x 2 4 x 3 呢？4、变形用公式：例5.若(x z)2 4(x y)(y = 0，试探求x + z与y的关系。例 6 化简：(a + b + c + d)2 + (a + b c d)2例7.如果3(a2 + b2 + c2)二(a + b + c)2，请你猜想：a、b、c之间的关系
12、，并说明你的猜想。完全平方公式变形的应用练习题1、已知 m2+n2-6m+10n+34=0，求 m+n 的值2、已知x2 + y2 + 4x-6y +13二0, x、y都是有理数，求xy的值。3.已知(a + b)2 二 16,ab 二 4,求+加 与 b)2 的值。.1.已知(a b) = 5,ab = 3 求(a + b)2 与 3(a2 + b2)的值。2.已矢口 a + b = 6,a b = 4求ab 与 a2 + b2 的值。3、已矢口 a + b 二 4,a2 + b2 二 4 求 a2b2 与(a b)2 的值。4、已知(a+b)2=60, (a-b)2=80，求 a?+b2及
13、 ab 的值5 .已知 a + b = 6,ab = 4，求 a2b + 3a2b2 + ab2 的值。6.已矢口 x2 + y2 2 x 4 y + 5 0 ,求x-1)2 xy 的值。7 .已知x - 6，求x2 +丄的值。xx 28、 x2 + 3x +1 0，求(1) x2 +(2) x4 + -x 2x 49、试说明不论x,y取何值，代数式x2 + y2 + 6x-4y +15的值总是正数。10、已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式3(a2 + b2 + c2) (a + b + c)2,请说明该三角形是什么三角形？B卷：提高题一、七彩题1.(多题一思路题)计算：34016(1) (2+1) (22+1) (24+1) . (22n+1) +1 (n 是正整数);(2) (3+1) (32+1) (34+1)(32008+1 )2.(一题多变题)利用平方差公式计算：2009x200720082.(1) 一变：利用平方差公式计算:200720072 - 2008 x 2006(2)二变：利用
