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1、高三必过关题8 解析几何一、填空题例1 经过点P（2，-1），且过点A（-3，-1）和点B（7，-3）距离相等的直线方程 _答：x=2或x+5y+3=0.提示：若过P点的直线垂直于x轴，点A与点B到此直线的距离均为5，所求直线为x=2;若过P点的直线不垂直于x轴时，设的方程为y+1=k(x-2), 即kx-y+(-1-2k)=0. 由 ,即|5k|=|5k+2|, 解得k=-所求直线方程为x+5y+3=0； 综上，经过P点的直线方程为x=2或x+5y+3=0.例2 已知三角形的两个顶点是B (2,1)、C (-6, 3), 垂心是H (-3, 2),第三个顶A的坐标为 答：（-19，-62）提
2、示： ACBH， , 直线AC的方程为y=5x+33 (1)ABCH， , 直线AB的方程为y=3x-5 (2)由（1）与（2）联立解得A点的坐标为（-19，-62）.例3过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 答：提示：容易遗漏过原点的直线例4 在平面直角坐标系中，点到直线的距离分别为1,2，则符合条件的直线的条数为 .答：2提示：以A点为圆心，1为半径的圆与以B点为圆心，2为半径的圆相交公切线只有2条。例5若过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围是 答：提示： 容易忽视成为圆的条件例6已知为圆的两条互相垂直的弦，交于点，且，则四边形的面积等于 答： 5 提示：由得弦心距相等，再由OM=得
3、弦心距为，所以=例7 已知圆与直线相交于、两点，为坐标原点，若，则= 答： 3提示：因为，所以以PQ为直径的圆过原点，设此圆方程为，则且例8曲线（）与直线有两个交点时，实数的取值范围是 答： 提示：数形结合，注意曲线为上半圆，直线过定点（2,4）。例9如果圆上至少有三点到直线的距离为，那么直线的斜率的取值范围为 .答： 提示：圆心（2,2）半径，直线横过原点，弦心距例10 已知圆M：和直线过直线上一点A作BAC，使BAC=45，AB过圆心M，且B，C在圆M上，则点A的横坐标的取值范围为 答：提示： 圆心M（2,2）半径， 例11在平面直角坐标系xOy中，“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的充要条
4、件是“实数k ”答：（1,3）提示：例12已知是椭圆的左右焦点，过的直线与椭圆相交于两点若，则椭圆的离心率为_答：提示：由题意设，所以，所以所以例13已知椭圆的上焦点为，直线和与椭圆相交于点，则 答： 8提示：用定义，对称。注意两个直线分别过上下两个焦点。例14设双曲线的半焦距为c，直线l过两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为_ 答： 提示：要用条件舍去另一解例15如图，在中，、ABCDE边上的高分别为、，则以、为焦点，且过、的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 答：提示：用定义求例16若方程表示准线平行于轴的椭圆，则实数的取值范围是 .答：提示：注意分母不为零。例17我国2008年
5、9月25日发射的“神七”载人飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面为，远地点距离为，地球半径为，则飞船运行轨道的短轴长为 。答：提示：a+c=n+R,a-c=m-R例18已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围为 .答：提示：，故例19以椭圆的右焦点为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，并交椭圆于点，若过椭圆左焦点的直线是圆的切线，则椭圆的右准线与圆的位置关系是 .（填“相交”、“相离”或“相切”）答：相交提示：证明例20已知方程对应的曲线为是与曲线有关的两定点，下列关于曲线的命题正确的有 （填序号）。曲线是以为焦点的椭圆
6、的一部分；曲线关于轴、轴、坐标原点对称；是曲线上任意一点，；是曲线上任意一点，；曲线围成的图形面积为30.答：提示：数形结合二、解答题例21已知过点A（1，1）且斜率为m（m0）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q，过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ面积的最小值.解析：设l的方程为y1=m（x1），则P（1+，0），Q（0，1+m）.从而可得直线PR和QS的方程分别为x2y=0和x2y+2（m+1）=0.又PRQS，RS=.又PR=，QS=，四边形PRSQ为梯形，S四边形PRSQ=+=（m+）2（2+）2=3.6.四边形PRSQ的面积的最小值为3.6.例22已知圆C
7、：(x-1)2+(y-2)2=25, 直线：（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=0(mR),证明直线与圆相交；(2) 求直线被圆C截得的弦长最小时，求直线的方程证明：（1）将直线的方程整理为（x+y-4）+m(2x+y-7)=0，由, 直线过定点A（3，1）， （3-1）2+（1-2）2=525，点A在圆C的内部，故直线恒与圆相交.（2）圆心O（1，2），当截得的弦长最小时，AO，由kAO= -, 得直线的方程为y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0.例23已知圆满足：（1）截y轴所得弦长为2，（2）被x轴分成两段弧，其弧长的比为3：1，（3）圆心到直线：x-2y=0的距离为，求这个圆方
8、程解：设所求圆圆心为P（a,b），半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|，由题设知圆P截x轴所对劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴所得弦长为r，故r2=2b2, 又圆P被 y轴所截提的弦长为2，所以有r2=a2+1，从而2b2-a2=1. 又因为P（a,b）到直线x-2y=0的距离为，所以d=，即|a-2b|=1, 解得a-2b=1,由此得, 于是r2=2b2=2, 所求圆的方程是(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.例24已知圆通过不同的三点，且圆C在点P处的切线的斜率为1.（1）试求圆的方程；CQPOyR（2）若点A、B是圆C上不同的两点，且满足
9、，试求直线AB的斜率；若原点O在以AB为直径的圆的内部，试求直线AB在轴上的截距的范围。解析：（1）设圆方程为，则圆心，且PC的斜率为-1所以解得，所以圆方程为（2），所以AB斜率为1设直线AB方程为，代入圆C方程得设，则原点O在以AB为直径的圆的内部，即整理得，例25已知（）求过点A与相切的直线l的方程；（）设关于直线l对称的圆，则在x轴上是否存在点P，使得P到两圆的切线长之比为？荐存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由解析：（1），因为点A恰在上，所以点A即是切点，所以，直线l的方程为；（2）因为点A恰为C1C2中点，所以，所以，设，或，由得，由得，求此方程无解。综上，存在两点P（-2
10、，0）或P（10，0）适合题意例26已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为（1）若，试求点的坐标；（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；（3）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.解析：（1）设，由题可知，所以，解之得：故所求点的坐标为或（2）设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以，解得，或，故所求直线的方程为：或（3）设，的中点，因为是圆的切线所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，故其方程为：化简得：，此式是关于的恒等式，故解得或所以经过三点的圆必过定点或.例27如图，F是椭圆的左焦点，A,B分别是椭圆的两
11、个顶点，椭圆的离心率为，点C在x轴上，三点确定的圆M恰好与直线相切（1）求椭圆的方程；（2）过点A的直线与圆M交于P,Q两点，且求直线的方程解析：（1）因为椭圆的离心率为，所以即所以故所以得BC方程为 令得即，所以圆M的半径为圆心M（c，0）因为圆M恰好与直线相切，所以故所求的椭圆方程为 （2）因为所以所以M到直线的距离等于1 依题意，直线的斜率存在，设直线即所以解得，故所求的直线的方程为 例28已知椭圆C：1(ab0)的右准线l的方程为x，短轴长为2（1）求椭圆C的方程；（2）过定点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于P，Q（异于A1，A2）两点，设直线PA1与直线QA2相交于点M（2x0，y
12、0）试用x0，y0表示点P，Q的坐标；求证：点M始终在一条定直线上解析：（1）由得 椭圆C的方程为；（2）A1（2，0），A2（2，0），方程为MA1的方程为：，即代入，得，即=，则=即P（，）同理MA2的方程为， 即代入，得，即= 则=即Q（，）P，Q，B三点共线，即 即由题意，则或若，即，则P，Q，M为同一点，不合题意，点M始终在定直线上例29一束光线从点出发，经直线l:上一点反射后，恰好穿过点（1）求点的坐标；（2）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；（3）设点是椭圆上除长轴两端点外的任意一点，试问在轴上是否存在两定点、，使得直线、的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定
13、点、的坐标；若不存在，请说明理由解析：（1）设关于l的对称点为，则且，解得，即，故直线的方程为由，解得 （2）因为，根据椭圆定义，得，所以又，所以所以椭圆的方程为 （3）假设存在两定点为，使得对于椭圆上任意一点（除长轴两端点）都有（为定值），即，将代入并整理得（）由题意，（）式对任意恒成立，所以，解之得 或所以有且只有两定点，使得为定值 例30设圆，动圆，（1）求证：圆、圆相交于两个定点；（2）设点P是椭圆上的点，过点P作圆的一条切线，切点为，过点P作圆的一条切线，切点为，问：是否存在点P，使无穷多个圆，满足？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由.解析：（1）将方程化为，令得或，所以圆过定点和，将代入，左边=右边，故点在圆上，同理可得点也在圆上，所以圆、圆相交于两个定点和；（2）设，则， ， 即，整理得（*）存在无穷多个圆，满足的充要条件为有解，解此方程组得或，故存在点P，使无穷多个圆，满足，点P的坐标为.
