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1、.上篇 用几何画板做数理实验图1-0.1我们主要认识一下工具箱和状态栏，其它的功能在今后的学习过程中将学会使用。案例一 四人分饼有一块厚度均匀的三角形薄饼，现在要把它平均分给四个人，应该如何分.图1-1.1思路：这个问题在数学上就是如何把一个三角形分成面积相等的四部分。方案一：画三角形的三条中位线，分三角形所成的四部分面积相等，（其实四个三角形全等）。如图1-1.2。图1-1.2方案二：四等分三角形的任意一边，由等底等高的三角形面积相等，可以得出四部分面积相等，如图1-1.3。图1-1.3用几何画板验证：第一步：打开几何画板程序，这时出现一个新绘图文件。说明：如果几何画板程序已经打开，只要由菜
2、单“文件”“新绘图”，也可以新建一个绘图文件。第二步：(1)在工具箱中选取“画线段”工具；(2)在工作区中按住鼠标左键拖动，画出一条线段。如图1-1.4。注意：在几何画板中，点用一个空心的圈表示。图1-1.4第三步：(1)选取“文本”工具；(2)在画好的点上单击左键，可以标出两点的标签，如图1-1.5：注意：如果再点一次，又可以隐藏标签，如果想改标签为其它字母，可以这样做：用“文本”工具双击显示的标签，在弹出的对话框中进行修改，(本例中我们不做修改)。如图1-1.6图1-1.6在后面的操作中，请观察图形，根据需要标出点或线的标签，不再一一说明图1-1.5第四步：(1)再次选取“画线段”工具，移
3、动鼠标与点A重合，按左键拖动画出线段AC；(2)画线段BC，标出标签C，如图1-1.7。注意：在熟悉后，可以先画好首尾相接的三条线段后再标上标签更方便。图1-1.7第五步：(1)用“选择”工具单击线段AB，这时线段上出现两个正方形的黑块，表示线段处于被选取状态；(2)由菜单“作图”“中点”，画出线段AB的中点，标上标签。得如图1-1.8。注意：如果被选取的是点，点的外面会有一个粗黑圆圈。在几何画板中，选取线段是不包括它的两个端点的，以后的问题都是这样，如果不小心多选了某个对象，可以按Shift键后用左键再次单击该对象取消选取。图1-1.8第六步：用同样的方法画出其它两边的中点。得如图1-1.9
4、。技巧：最快的方法是：按住Shift不放，用“选择”工具分别点击三条线段，可以同时选取这三条线段，再由“作图”“画中点”(或按快捷键Ctrl+M)，就可以同时画好三条边的中点。图1-1.9第七步：用“画线段”工具连结DE、EF、FD，得如图1-1.10：技巧：画线段的另一方法，在保证画线工具出现的是“画线段”按钮(不必选取)的前提下。选取两点后，由菜单“作图”“画线段”，(或按快捷键Ctrl+L),可以画出连结两点的线段。本例最快的做法：1、选取“画点”工具，按住Shift键不放在工作区中画三个点，这时三个顶点都保持选取状态2、按Ctrl+L,可以同时画出三条边并且三边同时被选取；3、按Ctr
5、l+M，可以同时画出三边中点且三中点同时被选取；4、按Ctrl+L,可以同时画出小三角形三条边，标上标签即可。图1-1.10第八步：(1) 按住Shift键不放，用“选择“工具选取点A、D、F；(2)由菜单“作图”“多边形内部”填充多边形内部；(3) 保持内部的选取状态，由菜单“度量”“面积”，可以量出ADF的面积，如图1-1.11。图1-1.11第九步：(1) 用同样的方法，填充并度量三角形BDE、ECF、DEF；(2) 选取DEF的内部，由菜单“显示”“颜色”，选择其它颜色，如蓝色，得到如图1-1.12。图1-1.2注意：在制作过程中，要经常保存文件，以免因意外原因造成文件丢失，以下每一个
6、例子都是这样，不再加以说明。归纳结论：拖动顶点A、B、C中的任一个，可以改变三角形的大小和形状，请观察不同情况下，四部分的面积是否总是相等.这样做可以完成分饼的任务吗.说明：这是通过实验来验证数学规律，不能保证结论一定是正确，一般来说，有一些结果经过了人类的长期实践，大家都公认了它的正确性，这时会把这个结论作为公理直接使用；而大多数情况下，实验得到的结果仍然需要进行推理证明。那么，实验有什么用呢.实验可以帮助我们认识规律，更容易接受知识，并且常常可以让我们找到解决问题的方向。练习：1、对于方案二，四等分面积的问题就转化为四等分线段的问题，四等分线段可以用哪些方法.2、为了方便在改变等分的份数（
7、例如要分成五份）时方法仍然能用，这里介绍利用平行线等分线段的方法把一条线段四等分。第一步：(1) 选取“画射线”工具；(2)移动鼠标到与点A重合，按住左键拖动，画出一条以点A为端点的射线AD，得如图1-1.13。图1-1.13第二步：(1) 选取“画点”工具，移动鼠标到射线AD上，在靠近点A处单击画出一个点E，得如图1-1.14；(2) 按住Shift键不放，用“选择”工具，依次选取点A、E，由菜单“变换”“标记向量A-E”。说明：标记了一个向量后，可以在后面的平移变换中按这个向量来平移，保证出现若干段相等的线段，标记向量时，一定要注意选选择点的先后顺序。图1-1.14第三步：(1) 用“选择
8、”工具选取点E，由菜单“变换”“平移”，在弹出的对话框中点“确定”即可得一点；(2) 选取，做同样的操作可以得，这样做下去，直到得到你想要的若干段相等的线段，这里是四段，如图1-1.15。图1-1.15第四步：(1) 连结B；（2）同时选取线段B、点E、，由菜单“作图”“平行线”，画出了一组平行线，如图1-1.16。图1-1.16第五步：(1) 用“选择”工具单击平行线和AB相交处，得到三个四等分点；(2) 选取所有平行线、射线AD及AD上的点(除A外)，由菜单“显示”“隐藏 对象”，可以隐藏制作过程中的辅助线。得如图1-1.17。以下只要连结点C和三个四等分点就行了，注意：在最后结果中不需要
9、看到的对象，一般是把它隐藏，如果你选取后删去了它，你会发现你要的四等分点也会消失，这是因为这些点是受辅助线控制的，隐藏的对象只是看不到，但它仍然起作用。隐藏和删除是不同的。如有问题，请到几何画板分版，下载案例一的练习供参考。图1-1.17、自己比较一下这两种方法，在只需要四等分的情况下，哪种方法方便.，在需要其它等分的情况下，哪种方法更具有一般性.案例二 三角形的内角和现有一块三角形的木板，用来制作一个半圆形的木盖，请设计一个浪费比较小并且便于施工的方案。图1-2.1思路：以三角形较短一边的一半为半径，以三个顶点为圆心画弧，得到三个扇形后拼成半圆，如图1-2.2：图1-2.2那么，如何知道拼成
10、的一定是一个半圆呢.下面用几何画板做一个实验来说明。方案：画一个三角形；量三个内角的度数；用几何画板的计算功能计算三个内角的和。如果对于任意的三角形，总有内角和是1800，那么说明拼成的一定是一个半圆形。用几何画板验证：第一步：新建一个几何画板绘图文件。画出三角形ABC第二步：(1) 选取“选择”工具，按住Shift不放，依次选取点B、A、C；(2) 由菜单中的“度量”“角度”，量出BAC的度数，用同样的方法度量其它两个角。如图1-2.3说明：由于每个人画的图不同，度数不一定和图1-2.3一样）。注意：选一个角的关键是角的顶点要第二个选。图1-2.3第三步：由菜单“度量”“计算”弹出一个计算器
11、，依次点击“BAC=”、“+”、“ABC=”“+”、“ACB=”、“确定”，如图1-2.4。说明：“BAC=”在本例中是“BAC=45.00”，这里用省略号表示，是因为每个人画的图不同，量出的度数有可能不同，以后类似的问题都这样来表示。技巧：弹出计算器的方法有：(1) 由菜单“度量”“计算”；(2) 双击工作区中的任一度量值，如“BAC=”；(3) 在工作区中击鼠标右键，由“度量”“计算”。图1-2.4归纳结论：请按要求操作后填写下表：序号操作现象三个角的和等于1观察BAC=_ABC=_ACB=_2用鼠标拖动其中一个顶点改变三角形变成钝角三角形BAC=_ABC=_ACB=_3用鼠标拖动其中一个
12、顶点改变三角形变成直角三角形BAC=_ABC=_ACB=_4用鼠标拖动其中一个顶点任意改变三角形的形状三个内角的和总是结论三角形的内角和总是_如有问题，请到几何画板分版，下载案例二供参考。练习：1、自己画一个凸四边形，度量它的内角，计算内角和，验证凸四边形的内角和是3600。如有问题，请到几何画板分版，下载案例二练习1供参考。2、用“选择”工具同时选取点A、B，由菜单“度量”“距离”，可以度量出线段AB的长度，请你用上面所学的知识验证“三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边”。如有问题，请到几何画板分版，下载案例二练习2供参考。案例三 最佳行走路线如图1-3.1：你身在草原上，
13、现在要走到公路边去等车，请设计一个最佳行走路线。图1-3.1思路：把人所处位置看作一个点，公路看作一条直线，行走的路线看作线段，由垂线段最短可以找到最佳行走路线。方案：画一条直线，过直线外一点引直线的垂线段和斜线段，度量线段的长，动态验证垂线段最短。用几何画板验证：第一步：新建一个几何画板绘图文件。第二步：(1) 按住工具箱中的画线工具不放，在弹出的工具条中选取“画直线”工具，按住鼠标左键拖动画出一条直线；(2) 用“画点”工具在直线外画一点，如图1-3.2。图1-3.2第三步：(1) 按Shift键，用鼠标选取点C和直线AB，(不要选取点A和B)；(2) 由菜单“作图”“垂线”，画出了过点C
14、垂直于AB的直线，如图1-3.3说明：虽然点A、B在直线AB上，但选取直线时并没有选取直线上的点，在后面的学习中，如果要求选取直线、线段、圆等对象，这时不要把对象上的点也选取，除非特别指明要选取这些点。图1-3.3第四步：(1) 用“选择”工具单击垂足处，定义出垂足，标上标签D；(2) 选取垂线CD(不要选取点C、D)、点A、B，由“显示”“隐藏”，把选取的对象隐藏，用“文本”工具在直线上点一下，标出直线的标签j；(3) 选“画线段”工具，连结线段CD，如图1-3.4。说明：点A、B是控制直线AB的点，通过拖动这两点，可以改变直线的方向和位置，一般情况下，如果不想再改变直线的位置，或不再画其它线经过这两个点，可以在制作完成后把它隐藏。1-3.4第五步：(1) 选取“画线段”工具；(2) 移动鼠标到点C处，按下左键拖动，当鼠标位于直线j上时松开，如图1-3.5。技巧：CE是直线j的斜线段，所以要保证一个端点是C，另一个端点E只能在直线j上移动，怎样才能保证呢.，在画图的过程中，移动鼠标到点C时，注意观察状态栏中有“从点C”，这时按下左键可以保证一个端点为C，移动鼠标到直线j时，状态栏中有“到点位于直线j”时松开，这样点E一定在直线上，不能拖到直线外。在几何画板中，状态栏的作用非常重要。图1-3.5第六步：同时选取点C、D，由“度量”“距离
