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1、第一章误差1.试举例，说明什么是模型误差，什么是方法误差.角牟：例如把地球近似看为一个标准球体，利用公式A4r2计算其表面积，这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差.在计算过程中，要用到，我们利用无穷乘积公式计算的值：222.qiq2其中qi.2,qni,2-q；,n2,3,.我们取前9项的乘积作为的近似值，得3.141587725.这个去掉的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差，也成为截断误差.2 .按照四舍五入的原则，将下列各数舍成五位有效数字：7解:0155065113236 23072363 .下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数，它们各有几位有效数字13050角
2、牟:五位三位六位四位4 .若1/4用表示，问有多少位有效数字解:两位5 .若a1062,b0.947，是经过舍入后得到的近似值，问:：a b, ab各有几位有效数字解:已知da10 4, db2 103又 a b 0.2053210,dabda dbdadb2101310 3 0.55210 3 1 10 2,2所以ab有三位有效数字；因为ab0.1047571410,b b daadb 0.947 1 104 2131.1062 10 320.60045 10 32102b有三位有效数字.6.设y10.9863, y2 0.0062，是经过舍入后作为x1,x2 的近似值.求工工的计算值与真值
3、的相对误差y1y2解:已知x1限及y1y2与真值的相对误差限1-4.1-4y1dx1,x2y2dx2,dx1=-10,dx210,22drdr x1dx1drdrx1X2x1 x2drX2dr x1dx2X2drdx1y1dx2y21 10 420.98631 10 420.0062x20.50 10 40.50 10 4;20.81 10 2;_2_20.81 10 2 0.82 102.7 .正方形的边长约为100cm，应该怎样测量，才能使其面积的误差不超过1cm2角牟：设正方形面积为S,边长为a,则s=#.所以要使：dsda22ada1,则要求.1122da0.510.所以边长的误差不能
4、超过0.510cm.2a200（读到秒），试问:计算前将有多大误差45o0 2解：8 .用观测恒星的方法求得某地维度为.o1dsincosdcos4502一29 .真空中自由落体运动距离s与时间的关系由公式s/t2确定,g是重力加速度.现在假设g是准确的，而对t的测量有0.1s的误差，证明t增加时，距离的绝对误差增加而相对误差却减小.1 21dsgtdtgtdt八dtds一XLt：因为：dsd-gtgtdt;-2.ds与t成正比，一与t2 ss12ts2gt成反比，所以当dt固定的时候，t增加时，距离的绝对误差增加而相对误差却减小.10.设x0,x的相对误差为，求lnx的绝对误差.dx角牛：已
5、知，所以inx的绝对误差dInx11.解:设x的相对误差为，求xn的相对误差.dxnnxn1dxndxnn%.12.计算球的体积，为了使相对误差限为1%,问度量半径 何R时允许的相对误差限如解:已知V43R3,设dr R3dRRa，则要使得dr VdVVdlnVdln R33 dln R13dln R 3dr R 3a 1%，则 a - 1% .xxx第二章插值法与数值微分1.设y区在x100,121,144三处的值是很容易求得的，试以这三个点建立yF的二次插值多项式，并用此多项式计算E5的近似值，且给出误差估计.用其中的任意两点，构造线性插值函数，用得到的三个线性插值函数，计算7H5的近似值
6、，并分析其结果不同的原因.解：已知X。100,x,121,X2144;y010,y,11,yZ12,建立二次Lagrange插值函数可得：x121x144x100x144L2x1011100121100144121100121144x121x100“c12144121144100所以115L211510.7228.误差R2xxx0xx1xx2,x0,x1,x2,，所以3!0.0006555R2，而0.001631x 121 x 100利用前两个节点建立线性插值函数可得：L1x10111100121121100所以115L111510.7143.利用后两个节点建立线性插值可得L1 xx 144
7、11121 144x 121 12 144 121所以、而L111510.7391.利用前后两个节点建立线性插值可得：L2 x 10 12100 144144 100x144x100所以115L111510.6818.与卅15的真实值比较，二次插值比线性插值效果好，利用前两个节点的线性插值比其他两个线性插值效果好.此说明，二次插值比线性插值效果好，内插比外插效果好.2.利用式证明2工KXomaxfx,xX0XXi8xX1证明：由式fXXoXXi,Xo2!Xi当X0XX1时,maxfx,maxxx0xx1XoX%X0XXi124Xo所以2,XXomaxfx,x0xx1XoXXi83.若Xjo,i
8、,.,n为互异节点，且有Xxo.XxjiXxji.Xxnljxxjxo.xjxjixjxji.xjxn证明nk.k._.xjljxx,ko,i,.,njo证明：由于,iij；nkk且xjljX和X都为k次多项式，而且在k+i个不同的节点处的函数值都相同ko,i,.,n,所以jo马上有kkxjljxx,k0,1,.,n.j04 .设给出sinx在,上的数值表，用二次插值进行计算，若希望截断误差小于105，问函数表的步长最大能取多少解:记插值函数为p(x)，则sin x p xsin3!x 1 x xi x xi 1所以cosmaxsinxpxxi1xxixxi1x3!cos1;令 g xx x
9、x x x x1，设 xxi 1 th 彳导.3，一一一gX1thhtt1t2,t0,2tt1t2,t0,2的最大值为10.3849,所以有3max sin x p x105所以h0.0538.5 .用拉格朗日插值和牛顿插值找经过点3,1,0,2,3,2,6,10的三次插值公式.角牟:Lagrange插值函数:L3xxx1xx2xx3xx0xx2xx3xoxixox2xox3y0xixoxix2xix3y1xx0xx1xx3xx0xx1xx2V2y3x2xox2xix2x3x3xox34乂3x?xx3x10x3x3xioi6227x3xxiox3xx3.278i/5牛顿插值：首先计算差商3io
10、2i32i.333o.38896io4o.8889o.i42oN3xix3o.3889x3xi.i42ox3xx3.也可以利用等距节点构造，首先计算差分3io2332476ioi2i623可得前插公式723N3xothi3tttittit2;26和后插公式N3 x3 thi6ioi2ttt223ttit2.66.确定一次数不高于4的多项式x，使o解:o,oo,iii,2i利用重节点计算差商1/21/4则可构造Hermite插值函数满足题设条件H4x00x0433x27.寻找过1个点Xo,Xi，,xn的2n1次多项式H2n1满足条件:H2n1x0fx0,H2n1x1fXi,.,H2n1Xnxn,
11、H2n1X0fx0,H2n1XifXi,.,H2n1xnxn角牛:和Lagrange插值函数的构造类似，可将插值函数写成其中，基函数满足条件hn,ix,%,ixhn,iXjij,hn,i则可由已知条件，可得所以可得H2n1xH2n1XP2n1;Xj0;%n,ihn,ixjhn,ixyi0ij,%n,iXj2ln,iXi%n,ixx2ln,ixixxi%n,ixyiXi12,i2、，xiln,ix.,2ln,ixyixxiln,ixyi8.过0,1两点构造一个三次Hermite插值多项式，满足条件：11f01,f0-,f12,f122解：计算重节点的差商01011/212112121/2-1/2
12、1马上可得11H3x1x0x0229.过给定数组x757677787980y(1)作一分段线性插值函数.(2)取第二类边界条件，作三次样条插值多项式.(3)用两种插值函数分别计算x75.5,x78.3的函数值.斛：(1)做分段线性插值函数可得：I5x2.768l0x2.8331x2.903l2x2.979l3x3.062l4x3.153l5x其中，10x12x80xxI5x0x(2)把已知节点值带入M76xx75,76;11x0x75,76.x76x76,7778xx77,78;13x0x76,78.x78I4x80x079,80;79,80.关系式可得：x75x75,7677xx76,77;0x75,77.x77x77,7879xx78,79;0x77,79.x78,79x79,80;x78,80.1-M02M121-M20.01522M112M2M30.0182231 1-M22M3-M40.0142 211M32M4M50.01622由边界条件可得M0M50,所以上面方程组变为可求解方程组12M1-M20.01521 1-M
