《2022中考数学专题突破导学练第19讲图形的相似试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022中考数学专题突破导学练第19讲图形的相似试题（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第19讲 图形的相似【知识梳理】1.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 2.相似三角形的判定方法: 根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等） 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似； 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似； 如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似； 如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；3.直角三角形相似判定定理:斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。直角三角形被斜边上的高分成的两个直角
2、三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 4.相似三角形的性质:相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。相似三角形周长的比等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。5.相似多边形的性质和判定:（1）相似多边形的性质：相似多边形的对应线段的比等于相似比。相似多边形的周长比等于相似比。相似多边形的面积比等于相似比的平方。（2）相似多边形的判定：所有的边对应成比例，所有的角对应相等的两个多边形相似。6.位似图形：位似图形，首先必须是相似图形，其次对应点的连线（或延长线）必交于一点。【考点解析】考点一：比例线段和图形的
3、相似【例1】（2017张家界）如图，D，E分别是ABC的边AB，AC上的中点，如果ADE的周长是6，则ABC的周长是（）A6B12C18D24【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KX：三角形中位线定理【分析】根据线段中点的性质求出AD=AB、AE=AC的长，根据三角形中位线定理求出DE=AB，根据三角形周长公式计算即可【解答】解：D、E分别是AB、AC的中点，AD=AB，AE=AC，DE=BC，ABC的周长=AB+AC+BC=2AD+2AE+2DE=2（AD+AE+DE）=26=12故选B考点二、相似三角形的判定和性质【例2】如图，把ABC沿着BC的方向平移到DEF的位置，它们重叠部分的面积
4、是ABC面积的一半，若BC=，则ABC移动的距离是（）ABCD【分析】移动的距离可以视为BE或CF的长度，根据题意可知ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以EC：BC=1：，推出EC的长，利用线段的差求BE的长【解答】解：ABC沿BC边平移到DEF的位置，ABDE，ABCHEC，=（）2=，EC：BC=1：，BC=，EC=，BE=BCEC=故选：D【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于证ABC与阴影部分为相似三角形考点三、利用相似解决实际问题【例3】考点四、位似图形【例4】（2017山东滨州）在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C（2，3）、D（1，
5、0），现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB若点D的对应点B在x轴上且OB=2，则点C的对应点A的坐标为（4，6）或（4，6）【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质【分析】根据位似变换的定义，画出图形即可解决问题，注意有两解【解答】解：如图，由题意，位似中心是O，位似比为2，OC=AC，C（2，3），A（4，6）或（4，6），故答案为（4，6）或（4，6）考点五、结合相似解决新定义问题【例5】【中考热点】如图，在等腰三角形ABC中，BAC=120，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使ADE=30（1）求证：ABDDCE；（2）设BD=x
6、，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当ADE是等腰三角形时，求AE的长【分析】（1）根据两角相等证明：ABDDCE；（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；（3）分三种情况进行讨论：当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时ABDDCE，则AB=CD，即2=2x；当AE=ED时，如图3，则ED=EC，即y=（2y）；当AD=AE时，AED=EDA=30，EAD=120，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在【解答】证明：（1）ABC是等腰三角形，
7、且BAC=120，ABD=ACB=30，ABD=ADE=30，ADC=ADE+EDC=ABD+DAB，EDC=DAB，ABDDCE；（2）如图1，AB=AC=2，BAC=120，过A作AFBC于F，AFB=90，AB=2，ABF=30，AF=AB=1，BF=，BC=2BF=2，则DC=2x，EC=2y，ABDDCE，化简得：y=x+2（0x2）；（3）当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时ABDDCE，则AB=CD，即2=2x，x=22，代入y=x+2，解得：y=42，即AE=42，当AE=ED时，如图3，EAD=EDA=30，AED=120，DEC=60，EDC=90，则ED=EC，即y
8、=（2y），解得：y=，即AE=，当AD=AE时，AED=EDA=30，EAD=120，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，当ADE是等腰三角形时，AE=42或【点评】本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形30角的性质，本题的几个问题全部围绕ABDDCE，解决问题；难度适中【达标检测】一选择题：1.2. （2017湖南株洲）如图示，若ABC内一点P满足PAC=PBA=PCB，则点P为ABC的布洛卡点三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（ALCrelle 17801855）于1816年首次发现，但他的发现
9、并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 18451922）重新发现，并用他的名字命名问题：已知在等腰直角三角形DEF中，EDF=90，若点Q为DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A5B4CD【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形【分析】由DQFFQE，推出=，由此求出EQ、FQ即可解决问题【解答】解：如图，在等腰直角三角形DEF中，EDF=90，DE=DF，1=2=3，1+QEF=3+DFQ=45，QEF=DFQ，2=3，DQFFQE，=，DQ=1，FQ=，EQ=2，EQ+FQ=2+，故选D3. 如
10、图，在中，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（ ）A B C D【考点】角平分线，相似，直角三角形内切圆半径【分析】先求出直角三角形内切圆半径=2，再利用相似求【解答】解：延长FE交AB于点D，作EDBC，EHAC则ED=EG=EH=2设EF=FC=xADFABC即x=故选C4. 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”如图，线段CD是ABC的“和谐分割线”，ACD为等腰三角形，CBD和ABC相似，A=46，则ACB的度数为113或92【考点】S7：相似三角形的性
11、质；KH：等腰三角形的性质【分析】由ACD是等腰三角形，ADCBCD，推出ADCA，即ACCD，分两种情形讨论当AC=AD时，当DA=DC时，分别求解即可【解答】解：BCDBAC，BCD=A=46，ACD是等腰三角形，ADCBCD，ADCA，即ACCD，当AC=AD时，ACD=ADC=67，ACB=67+46=113，当DA=DC时，ACD=A=46，ACB=46+46=92，故答案为113或92二填空题：5.6.7.8.三解答题：9. （2017湖南株洲）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF求证：DAEDCF； 求证：ABGCFG【
12、考点】S8：相似三角形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；LE：正方形的性质【分析】由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到BAG=BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证【解答】证明：正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，ADC=EDF=90，AD=CD，DE=DF，ADE+ADF=ADF+CDF，ADE=CDF，在ADE和CDF中，ADECDF；延长BA到M，交ED于点M，ADECDF，EAD=FCD，即EAM+MAD=BCD+BCF，MAD=BCD
13、=90，EAM=BCF，EAM=BAG，BAG=BCF，AGB=CGF，ABGCFG10. 已知，在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC写出BP，BD的长；求证：四边形BCPD是平行四边形（2）如图2，若BD=AD，过点P作PHBC交BC的延长线于点H，求PH的长【考点】LO：四边形综合题【分析】（1）分别在RtABC，RtBDC中，求出AB、BD即可解决问题；想办法证明DPBC，DP=BC即可；（2）如图2中，作DNAB于N，PEAC于E，延长BD交PA于M设BD=AD=x，则CD=4x，在RtBDC中，可得x2=（4x）2+22，推出x=，推出DN=，由BDNBAM，可得=，由此求出AM，由ADMAPE，可得=，由此求出AE=，可得EC=ACAE=4=由此即可解决问题【解答】解：（1）在RtABC中，BC=2，AC=4，AB=2，AD=CD=2，BD=2，由翻折可知，BP=BA=2如图1中，BCD是等腰直角三角
